Questão 178 do ENEM 2025 comentada
Cálculo de probabilidades ao comparar o maior resultado de dois dados com o resultado de um terceiro.
Três dados cúbicos, com faces numeradas de 1 a 6, foram utilizados em um jogo. Artur escolheu dois dados, e João ficou com o terceiro. O jogo consiste em ambos lançarem seus dados, observarem os números nas faces voltadas para cima e compararem o maior número obtido por Artur com o número obtido por João. Vence o jogador que obtiver o maior número. Em caso de empate, a vitória é de João.
O jogador que tem a maior probabilidade de vitória é
- AArtur, com probabilidade de 2/3
- BJoão, com probabilidade de 4/9
- CArtur, com probabilidade de 91/216
- DJoão, com probabilidade de 91/216
- EArtur, com probabilidade de 125/216
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O que a questão cobra
A questão cobra a contagem de resultados possíveis e favoráveis em lançamentos de dados. É preciso considerar que Artur vence apenas quando seu maior resultado supera o de João.
Resolução
Em caso de empate, a vitória é de João.
Há 6 × 6 × 6 = 216 resultados possíveis para os três dados. Para contar as vitórias de Artur, agrupamos os resultados de acordo com o maior número obtido nos dois dados dele.
Se esse maior número for m, há m² − (m − 1)² = 2m − 1 maneiras de Artur obter esse máximo. Para Artur vencer, o dado de João deve mostrar um número menor que m, o que permite m − 1 resultados.
Vitórias de Artur = 0 + 3 + 10 + 21 + 36 + 55 = 125.
Assim, a probabilidade de Artur vencer é 125/216. Como 125 é maior que 216 − 125 = 91, Artur tem maior probabilidade de vitória. A possibilidade de empate fica com João, como informa o enunciado.
Alternativa por alternativa
- A
Artur é o jogador com maior probabilidade de vitória, mas 2/3 não corresponde à contagem: ele vence em 125 dos 216 resultados possíveis.
- B
João não vence com probabilidade 4/9. Sua probabilidade é 91/216, considerando as vitórias dele e os empates.
- C
Artur não vence com probabilidade 91/216. Esse é o número de resultados em que João vence, incluindo os empates.
- D
91/216 é, de fato, a probabilidade de vitória de João, mas ele não é o jogador com maior probabilidade de vencer.
- E
Correta. Artur vence quando o maior número de seus dois dados supera o resultado de João. Isso ocorre em 125 dos 216 resultados possíveis, então sua probabilidade é 125/216.
Para lembrarEm resultados equiprováveis, a probabilidade é o número de resultados favoráveis dividido pelo número total de resultados possíveis.
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