Questão 172 do ENEM 2025 comentada
Como determinar o maior parâmetro de um modelo logarítmico para manter a pressão dentro do limite recomendado.
Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna P, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização t, em hora, e de um parâmetro positivo K, que define o modelo da máquina, segundo a expressão:
P = 4 ⋅ log[−K ⋅ (t + 1) ⋅ (t − 19)]
O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento.
O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro K, atendendo à recomendação do fabricante.
O maior valor a ser escolhido para K é
- A10⁰,⁵
- B10⁸
- C
- D
- E25 × 10⁻²
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Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão cobra o uso da propriedade de crescimento do logaritmo e a maximização de uma função quadrática no intervalo de funcionamento.
Resolução
O funcionamento dura 10 horas, então o tempo varia de 0 a 10. A expressão dentro do logaritmo pode ser reescrita como uma parábola. Seu maior valor nesse intervalo ocorre em t = 9.
não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento.
−(t + 1)(t − 19) = 100 − (t − 9)²
Assim, a pressão máxima ocorre quando o argumento do logaritmo é 100K. Como o logaritmo cresce com seu argumento, basta impor o limite à pressão máxima:
4 log(100K) ≤ 10 log(100K) ≤ 2,5
100K ≤ 10²,⁵
K ≤ 10²,⁵ ÷ 100 = 10⁰,⁵
Logo, o maior valor possível é 10⁰,⁵. As figuras das opções C e D mostram frações com o mesmo numerador e denominadores menores que 100; por isso, seus valores superam o limite calculado.
Alternativa por alternativa
- A
Correta. Está correta: 10⁰,⁵ é o maior valor de K que mantém a pressão em até 10 atmosferas durante as 10 horas.
- B
Está errada: 10⁸ é maior que o limite K ≤ 10⁰,⁵ e, portanto, não atende à recomendação.
- C
Está errada: 10²,⁵/84 é maior que 10²,⁵/100, que é o limite para K.
- D
Está errada: 10²,⁵/99 também é maior que 10²,⁵/100, o limite para K.
- E
Está errada: 25 × 10⁻² = 0,25, um valor abaixo do limite; não é o maior K possível.
Para lembrarComo o logaritmo é crescente, limitar a pressão equivale a limitar seu argumento; para uma parábola, encontre o maior valor no intervalo de tempo.
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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