Questão 164 do ENEM 2024 comentada
Veja como usar as relações métricas em um triângulo equilátero para encontrar uma distância.
A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos P₁, P₂ e P₃, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.
A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre
- A2 e 3.
- B4 e 5.
- C5 e 6.
- D7 e 8.
- E8 e 9.
Tente resolver antes de abrir. Errar aqui é de graça.
Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão cobra o cálculo da altura de um triângulo equilátero pelo teorema de Pitágoras. Também exige relacionar essa altura à distância do centro do triângulo até seus vértices.
Resolução
Os postos formam os vértices de um triângulo equilátero, pois estão todos à mesma distância entre si. As marcas na figura mostram que H está à mesma distância dos três postos; portanto, ele é o centro desse triângulo.
distam 10 km entre si
A mediana de um triângulo equilátero divide a base ao meio. Assim, forma-se um triângulo retângulo com hipotenusa de 10 km e um cateto de 5 km. Pelo teorema de Pitágoras, a altura é:
h² = 10² − 5² = 75 h = 5√3 km
No triângulo equilátero, a distância do centro a um vértice corresponde a 2/3 da mediana. Logo:
HP = (2/3) × 5√3 = 10√3/3 ≈ 5,77 km
Como 5,77 está entre 5 e 6, a distância pedida pertence ao intervalo da alternativa C.
Alternativa por alternativa
- A
Está errada: a distância calculada é aproximadamente 5,77 km, não um valor entre 2 e 3.
- B
Está errada: 5,77 km não está entre 4 e 5.
- C
Correta. Está certa: a distância é aproximadamente 5,77 km, que está entre 5 e 6.
- D
Está errada: 5,77 km não está entre 7 e 8.
- E
Está errada: 5,77 km não está entre 8 e 9.
Para lembrarEm um triângulo equilátero de lado a, a altura é a√3/2 e o raio da circunferência circunscrita é 2/3 da altura.
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
Essa caiu. Outras do mesmo assunto também vão.
No enemjuntos você treina Relações métricas nos triângulos com questões oficiais do mesmo assunto, e o app te chama para revisar antes de você esquecer.
Treinar esse assunto grátis →