Questão 172 do ENEM 2020 comentada
Como usar relações métricas em um triângulo retângulo para determinar o raio de uma circunferência.
No período de fim de ano, o síndico de um condomínio resolveu colocar, em um poste, uma iluminação natalina em formato de cone, lembrando uma árvore de Natal, conforme as figuras 1 e 2.
A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação, consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de um ponto situado a 3 m de altura no poste até um ponto de uma circunferência de fixação, no chão, de tal forma que esta fique dividida em 20 arcos iguais. O poste está fixado no ponto C (centro da circunferência) perpendicularmente ao plano do chão.
Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação aproveitadas de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais de 100 m de comprimento, dos quais ele decide usar exatamente 100 m e deixar o restante como reserva.
Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência deverá ser de
- A4,00.
- B4,87.
- C5,00.
- D5,83.
- E6,26.
Tente resolver antes de abrir. Errar aqui é de graça.
Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão exige relacionar a altura do poste, o raio no chão e o comprimento das mangueiras. Para isso, você aplica o teorema de Pitágoras e considera o comprimento total disponível.
Resolução
A figura mostra a relação que resolve a questão: a altura do poste e o raio da circunferência são perpendiculares, e cada mangueira forma a hipotenusa de um triângulo retângulo.
consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento
Como a circunferência fica dividida em 20 arcos iguais, são usadas 20 mangueiras de mesmo comprimento. O total disponível é 100 m, então o comprimento de cada uma é:
100 ÷ 20 = 5 m
No triângulo retângulo, a altura mede 3 m, a hipotenusa mede 5 m e o outro cateto é o raio r. Pelo teorema de Pitágoras:
r² + 3² = 5²
r² = 25 − 9 = 16
r = 4 m
Assim, o raio deve medir 4 m. Com esse valor, cada mangueira mede 5 m e as 20 mangueiras somam exatamente os 100 m que o síndico decidiu usar.
Alternativa por alternativa
- A
Correta. Com raio de 4 m e altura de 3 m, cada mangueira mede 5 m; as 20 mangueiras totalizam 100 m.
- B
Com raio de 4,87 m, cada mangueira mede cerca de 5,72 m, e as 20 somam cerca de 114,4 m.
- C
Com raio de 5 m, cada mangueira mede cerca de 5,83 m, totalizando cerca de 116,6 m.
- D
Com raio de 5,83 m, cada mangueira mede cerca de 6,56 m, totalizando cerca de 131 m.
- E
Com raio de 6,26 m, cada mangueira mede cerca de 6,94 m, totalizando cerca de 138,8 m.
Para lembrarEm um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa: a² + b² = c².
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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