Questão 146 do ENEM 2024 comentada
Veja como usar o custo da tela para determinar as dimensões que maximizam a área de um retângulo.
Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimentos L metro e C metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento L metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa R$ 20,00, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ 15,00. O fazendeiro quer gastar, no máximo, R$ 6 000,00 na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível.
Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?
- A85
- B100
- C175
- D200
- E350
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O que a questão cobra
A questão exige montar uma função quadrática para a área a partir da restrição de custo. Depois, é preciso encontrar o vértice da função e identificar o maior lado.
Resolução
deseja que o galinheiro tenha a maior área possível.
As duas laterais de comprimento L custam R$ 20,00 por metro, e as duas de comprimento C custam R$ 15,00 por metro. Assim, o custo total é 40L + 30C. Para obter a maior área, o fazendeiro usa todo o orçamento:
40L + 30C = 6000
Isolando C:
C = 200 − 4L/3
A área é A = LC. Substituindo a expressão de C:
A(L) = 200L − 4L²/3 = −4/3(L − 75)² + 7500
Como o termo ao quadrado é subtraído, a área máxima ocorre quando L = 75. Nesse caso:
C = 200 − 4 × 75/3 = 100
Portanto, os lados medem 75 m e 100 m. O maior lado do galinheiro mede 100 m.
Alternativa por alternativa
- A
85 m não é nenhum dos lados do retângulo que maximiza a área: eles medem 75 m e 100 m.
- B
Correta. Com L = 75 m, a restrição de custo dá C = 100 m, que é o maior lado.
- C
175 m não é nenhum dos lados obtidos ao maximizar a função da área; o maior deles é 100 m.
- D
200 m não corresponde a nenhum dos lados do retângulo de área máxima, que mede 75 m por 100 m.
- E
350 m não é uma das dimensões do retângulo que maximiza a área; a maior dimensão é 100 m.
Para lembrarEm uma função quadrática com concavidade para baixo, o valor máximo ocorre no vértice.
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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