Questão 160 do ENEM 2023 comentada
Compare as probabilidades de descobrir senhas com diferentes regras de formação.
Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:
• algarismos de 0 a 9;
• 26 letras minúsculas do alfabeto;
• 26 letras maiúsculas do alfabeto;
• 6 caracteres especiais !, @, #, $, *, &.
Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:
• tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;
• tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;
• tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.
Considere 
as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.
Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o
- ATipo I, pois p1 < p2 < p3.
- BTipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.
- CTipo II, pois tem maior quantidade de letras.
- DTipo III, pois p3 < p2 < p1
- ETipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.
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Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão exige contar quantas senhas válidas existem em cada tipo. Depois, você compara as probabilidades de acertar uma senha ao acaso na primeira tentativa.
Resolução
A figura associa p₁, p₂ e p₃ às probabilidades dos tipos I, II e III. Para cada tipo, contamos as senhas possíveis: com um palpite ao acaso, quanto maior esse total, menor a chance de acertar.
as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa
No tipo I, cada posição pode receber um caractere diferente dos 68 permitidos. No tipo II, as três primeiras posições usam letras distintas; as seguintes usam um algarismo e um caractere especial. No tipo III, contamos separadamente as escolhas de letras, algarismos e caracteres especiais, sem repetição.
Tipo I: 68 × 67 × 66 × 65 = 19 545 240 senhas
Tipo II: 52 × 51 × 50 × 10 × 6 = 7 956 000 senhas
Tipo III: 52 × 51 × 10 × 9 × 6 × 5 = 7 160 400 senhas
Assim, p₁ = 1/19 545 240, p₂ = 1/7 956 000 e p₃ = 1/7 160 400. Como o tipo I tem mais possibilidades, sua probabilidade de ser descoberto é a menor: p₁ < p₂ < p₃.
Alternativa por alternativa
- A
Correta. O tipo I tem mais senhas possíveis, então sua probabilidade é menor: p₁ < p₂ < p₃.
- B
Ter menos caracteres, por si só, não determina a menor probabilidade; o tipo I tem mais combinações possíveis do que os outros.
- C
A quantidade de letras não basta para comparar as probabilidades; o tipo II tem menos senhas possíveis que o tipo I.
- D
A ordem indicada está invertida: p₃ é maior que p₂ e p₁.
- E
O tipo III tem mais caracteres, mas isso não garante a menor probabilidade; ele tem menos senhas possíveis que o tipo I.
Para lembrarSe há N senhas igualmente possíveis, a probabilidade de acertar uma delas em um palpite é 1/N.
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