Questão 138 do ENEM 2023 comentada
Como usar probabilidades de duas urnas para determinar quantas bolinhas devem ser adicionadas.
Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.
Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.
Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?
- A20
- B60
- C64
- D68
- E80
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Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão exige calcular uma probabilidade composta e usar uma desigualdade para encontrar a menor quantidade de bolinhas que atende ao limite.
Resolução
Primeiro, use a probabilidade inicial de retirar uma bolinha preta da urna B para descobrir quantas bolinhas há nela. Como as 4 pretas correspondem a 25% do total, a urna tem 16 bolinhas e 12 são brancas.
a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna B é 25%.
Se o gerente adicionar x bolinhas brancas, o total na urna B será 16 + x. A chance de retirar duas pretas é o produto das chances em cada urna:
0,20 × 4/(16 + x) ≤ 0,01
Resolvendo a desigualdade:
0,8/(16 + x) ≤ 0,01
16 + x ≥ 80 x ≥ 64
Portanto, o gerente deve adicionar pelo menos 64 bolinhas brancas. Com essa quantidade, a urna B terá 80 bolinhas, das quais 4 são pretas. A chance de retirar uma preta dela será 4/80 = 5%; multiplicada pelos 20% da urna A, resulta em 1%. Assim, o limite é atingido exatamente.
Alternativa por alternativa
- A
Com 20 bolinhas adicionadas, a chance de ganhar é 0,8/36, ou cerca de 2,22%, acima de 1%.
- B
Com 60 bolinhas adicionadas, a chance é 0,8/76, ou cerca de 1,05%, ainda acima de 1%.
- C
Correta. Com 64 bolinhas adicionadas, a chance é 0,8/80 = 1%. É a menor quantidade que respeita o limite.
- D
Com 68 bolinhas, a chance fica abaixo de 1%, mas 64 já bastam; portanto, não é o mínimo.
- E
Com 80 bolinhas, a chance também fica abaixo de 1%, mas essa quantidade é maior que o mínimo necessário.
Para lembrarEm retiradas de urnas distintas, multiplique as probabilidades; para achar o mínimo, resolva a desigualdade que representa o limite exigido.
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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