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Matemática ENEM 2021 difícil

Questão 142 do ENEM 2021 comentada

Cálculo da probabilidade de obter pelo menos um acerto em lançamentos repetidos.

Numeração do caderno azul · Matemática

Questão 142ENEM 2021

O organizador de uma competição de lançamento de dados pretende tornar o campeonato mais competitivo.
Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores tem, em cada lançamento, 1/2 de probabilidade de acertar um dardo no alvo.
A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a 9/10. Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada.

Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é

  1. A
    2
  2. B
    4
  3. C
    6
  4. D
    9
  5. E
    10

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Ver a resposta e a resolução

Resposta: Bgabarito oficial do INEP

O que a questão cobra

A questão exige calcular a probabilidade de ocorrer ao menos um acerto em vários lançamentos. Para isso, é mais simples calcular primeiro a probabilidade de errar todos.

Resolução

A chance de acertar um dardo é 1/2. Portanto, a chance de errar um lançamento também é 1/2. Para calcular a chance de pontuar, usamos o evento contrário: errar todos os dardos. Considerando os lançamentos como independentes, a chance de errar todos com n dardos é (1/2)^n.

seja igual ou superior a 9/10.

Assim, a probabilidade de pontuar deve ser pelo menos 9/10:

1 − (1/2)^n ≥ 9/10

Isso equivale a exigir que a chance de errar todos seja no máximo 1/10. Com 3 dardos, a chance de pontuar é 1 − 1/8 = 7/8, ainda abaixo de 9/10. Com 4 dardos:

1 − 1/16 = 15/16

Como 15/16 é maior que 9/10, quatro dardos atendem à regra. Como três não atendem, quatro é a quantidade mínima.

Alternativa por alternativa

  • A

    Com 2 dardos, a probabilidade de pontuar é 1 − 1/4 = 3/4, menor que 9/10.

  • B

    Correta. Com 4 dardos, a probabilidade de pontuar é 15/16, que supera 9/10. Como 3 dardos resultam em apenas 7/8, essa é a quantidade mínima.

  • C

    Com 6 dardos, a probabilidade de pontuar é 1 − 1/64 = 63/64. Ela atende ao limite, mas não é a quantidade mínima, pois 4 já bastam.

  • D

    Com 9 dardos, a probabilidade de pontuar é 1 − 1/512 = 511/512. Embora atinja o limite, 4 dardos já são suficientes.

  • E

    Com 10 dardos, a probabilidade de pontuar é 1 − 1/1024 = 1023/1024. Essa quantidade não é mínima, pois 4 dardos já atendem à regra.

Para lembrarA probabilidade de ocorrer pelo menos um acerto é 1 menos a probabilidade de errar todos os lançamentos.

Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.

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