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Matemática ENEM 2019 difícil

Questão 159 do ENEM 2019 comentada

Como calcular a chance de perceber ao menos uma placa e encontrar a quantidade mínima necessária.

Numeração do caderno azul · Matemática

Questão 159ENEM 2019

O dono de um restaurante situado às margens de uma rodovia percebeu que, ao colocar uma placa de propaganda de seu restaurante ao longo da rodovia, as vendas aumentaram. Pesquisou junto aos seus clientes e concluiu que a probabilidade de um motorista perceber uma placa de anúncio é 1/2.

Com isso, após autorização do órgão competente, decidiu instalar novas placas com anúncios de seu restaurante ao longo dessa rodovia, de maneira que a probabilidade de um motorista perceber pelo menos uma das placas instaladas fosse superior a 99/100.

A quantidade mínima de novas placas de propaganda a serem instaladas é

  1. A
    99
  2. B
    51
  3. C
    50
  4. D
    6
  5. E
    1

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Ver a resposta e a resolução

Resposta: Dgabarito oficial do INEP

O que a questão cobra

A questão cobra a probabilidade do evento complementar: não perceber nenhuma placa. Também exige considerar que já havia uma placa na rodovia.

Resolução

ao colocar uma placa de propaganda de seu restaurante ao longo da rodovia

O restaurante já tinha uma placa. Por isso, a quantidade de placas instaladas ao final será igual a uma mais o número de novas placas.

A chance de um motorista não perceber uma placa é 1/2. Para não perceber nenhuma, ele precisa deixar de perceber todas. Com as placas consideradas independentes, essa chance é calculada multiplicando 1/2 por si mesma para cada placa.

Com 7 placas ao todo, a chance de não perceber nenhuma é:

(1/2)^7 = 1/128

Logo, a chance de perceber pelo menos uma é o complemento:

1 − 1/128 = 127/128 = 0,9921875

Esse valor é maior que 99/100, ou 0,99. Assim, são necessárias 7 placas ao todo. Como uma já existia, devem ser instaladas 6 novas placas.

Com apenas 6 placas ao todo, a chance de perceber alguma seria 1 − 1/64 = 63/64 = 0,984375, abaixo do limite pedido. Portanto, 7 placas é o menor total que atende à condição.

Alternativa por alternativa

  • A

    Com 99 novas placas, haveria 100 ao todo, quantidade que atende à condição, mas não é mínima.

  • B

    Com 51 novas placas, haveria 52 ao todo. A chance supera 99/100, mas há uma quantidade menor que também atende.

  • C

    Com 50 novas placas, haveria 51 ao todo. A chance supera 99/100, mas essa quantidade não é a mínima.

  • D

    Correta. Com 6 novas placas, haverá 7 ao todo, incluindo a que já existia. A chance de perceber pelo menos uma será 127/128, superior a 99/100.

  • E

    Com apenas 1 nova placa, haverá 2 ao todo. A chance de perceber pelo menos uma será 1 − (1/2)^2 = 3/4, abaixo de 99/100.

Para lembrarA chance de ocorrer pelo menos uma vez é 1 menos a chance de não ocorrer nenhuma vez.

Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.

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