Questão 154 do ENEM 2018 comentada
Veja como calcular a chance de uma peça cair na zona de combate e encontrar a menor dimensão possível para o tabuleiro.
Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão n x n, com 
no qual cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é posicionada, a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada de zona de combate dessa peça. Na figura está ilustrada a zona de combate de uma peça colocada em uma das casas de um tabuleiro de dimensão 8 x 8.
O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda peça aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da primeira, seja inferior a 
A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é
- A4 x 4.
- B6 x 6.
- C9 x 9.
- D10 x 10.
- E11 x 11.
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Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão cobra o cálculo de uma probabilidade em um tabuleiro e a comparação dessa probabilidade com um limite. Também exige identificar a menor dimensão inteira que atende à condição.
Resolução
A figura destaca a zona de combate como a união da linha e da coluna da primeira peça. Para calcular a chance, contamos as casas vazias que pertencem a essa zona e dividimos pelo total de casas vazias do tabuleiro.
seja inferior a 1/5
A zona tem 2n − 1 casas, mas uma já está ocupada pela primeira peça. Assim, há 2n − 2 casas favoráveis. O total de casas vazias é n² − 1.
P = (2n − 2)/(n² − 1) = 2/(n + 1)
Agora, impomos que essa probabilidade seja menor que 1/5:
2/(n + 1) < 1/5
10 < n + 1 n > 9
Como a dimensão precisa ser inteira, o menor valor possível é n = 10. Portanto, o tabuleiro mínimo tem dimensão 10 × 10. Um tabuleiro maior também pode cumprir a condição, mas não seria o menor.
Alternativa por alternativa
- A
Em um tabuleiro 4 × 4, a probabilidade é 2/5, maior que 1/5; por isso, não atende à condição.
- B
Em um tabuleiro 6 × 6, a probabilidade é 2/7, maior que 1/5; por isso, não atende à condição.
- C
Em um tabuleiro 9 × 9, a probabilidade é 1/5, igual ao limite. O enunciado exige uma probabilidade inferior a esse valor.
- D
Correta. Em um tabuleiro 10 × 10, a probabilidade é 2/11, menor que 1/5. Como 10 é a menor dimensão que atende à condição, esta é a correta.
- E
Em um tabuleiro 11 × 11, a probabilidade é 1/6, menor que 1/5. Porém, essa dimensão não é mínima, pois 10 × 10 já atende à condição.
Para lembrarEm uma probabilidade, divida o número de resultados favoráveis pelo total de resultados possíveis; para encontrar a dimensão mínima, aplique a desigualdade do enunciado.
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