Questão 155 do ENEM 2022 comentada
Aprenda a contar escolhas de apartamentos usando as condições de incidência de sol e o princípio multiplicativo.
Um prédio, com 9 andares e 8 apartamentos de 2 quartos por andar, está com todos os seus apartamentos à venda. Os apartamentos são identificados por números formados por dois algarismos, sendo que a dezena indica o andar onde se encontra o apartamento, e a unidade, um algarismo de 1 a 8, que diferencia os apartamentos de um mesmo andar. Quanto à incidência de sol nos quartos desses apartamentos, constatam-se as seguintes características, em função de seus números de identificação:
• naqueles que finalizam em 1 ou 2, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da manhã;
• naqueles que finalizam em 3, 4, 5 ou 6, apenas um dos quartos recebe sol na parte da manhã;
• naqueles que finalizam em 7 ou 8, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da tarde.
Uma pessoa pretende comprar 2 desses apartamentos em um mesmo andar, mas quer que, em ambos, pelo menos um dos quartos receba sol na parte da manhã.
De quantas maneiras diferentes essa pessoa poderá escolher 2 desses apartamentos para compra nas condições desejadas?
- A
- B
- C
- D
- E
Tente resolver antes de abrir. Errar aqui é de graça.
Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão exige identificar quais apartamentos atendem à condição e contar pares sem considerar a ordem. Também é preciso levar em conta que os dois apartamentos devem ficar no mesmo andar.
Resolução
em ambos, pelo menos um dos quartos receba sol na parte da manhã.
Os apartamentos terminados em 1 ou 2 têm sol da manhã nos dois quartos. Nos terminados em 3, 4, 5 ou 6, um dos quartos recebe esse sol. Portanto, em cada andar, os apartamentos que atendem à condição são os seis com finais de 1 a 6. Os terminados em 7 ou 8 não atendem.
Como a pessoa escolhe dois apartamentos no mesmo andar, contamos os pares possíveis entre esses seis. A ordem da escolha não importa, então usamos uma combinação. A figura da alternativa B mostra justamente essa contagem: escolher dois entre seis e multiplicar pelo número de andares.
Combinações por andar: 6! ÷ (4! × 2!) = 15.
Total: 9 × 15 = 135.
Assim, há 135 maneiras de escolher os dois apartamentos nas condições pedidas.
Alternativa por alternativa
- A
Está errada porque considera a ordem dos apartamentos: 9 × 6! ÷ 4! = 270, contando cada par duas vezes.
- B
Correta. Está certa: em cada um dos 9 andares, escolhem-se 2 dos 6 apartamentos que atendem à condição, sem considerar a ordem. O resultado é 9 × 6! ÷ (4! × 2!) = 135.
- C
Está errada porque escolhe apenas entre 4 apartamentos, embora os finais 1 e 2 também tenham pelo menos um quarto com sol da manhã. O resultado dessa expressão é 54.
- D
Está errada porque considera apenas os 2 apartamentos com finais 1 e 2, deixando de incluir os que terminam em 3, 4, 5 ou 6. O resultado é 9.
- E
Está errada porque subtrai apenas o par formado pelos apartamentos terminados em 7 e 8. Outros pares com esses finais também não atendem à condição. O resultado é 243.
Para lembrarQuando a ordem não importa, escolha k elementos entre n usando a combinação C(n,k) = n! ÷ [k!(n−k)!].
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