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Matemática ENEM 2022 difícil~2 min

Questão 150 do ENEM 2022 comentada

Como usar o vértice de uma função quadrática e a referência do eixo para comparar a altura máxima com tetos.

Numeração do caderno azul · Matemática

Questão 150ENEM 2022

Em jogos de voleibol, um saque é invalidado se a bola atingir o teto do ginásio onde ocorre o jogo. Um jogador de uma equipe tem um saque que atinge uma grande altura. Seu recorde foi quando a batida do saque se iniciou a uma altura de 1,5 m do piso da quadra, e a trajetória da bola foi descrita pela parábola figura da questão , em que y representa a altura da bola em relação ao eixo x (das abscissas) que está localizado a 1,5 m do piso da quadra, como representado na figura. Suponha que em todas as partidas algum saque desse jogador atinja a mesma altura do seu recorde.

figura da questão

A equipe desse jogador participou de um torneio de voleibol no qual jogou cinco partidas, cada uma delas em um ginásio diferente. As alturas dos tetos desses ginásios, em relação aos pisos das quadras, são:
• ginásio I: 17 m;
• ginásio II: 18 m;
• ginásio III: 19 m;
• ginásio IV: 21 m;
• ginásio V: 40 m.

O saque desse atleta foi invalidado

  1. A
    Apenas no ginásio I.
  2. B
    Apenas nos ginásios I e II.
  3. C
    Apenas nos ginásios I, II e III.
  4. D
    Apenas nos ginásios I, II, III e IV.
  5. E
    Em todos os ginásios.

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Ver a resposta e a resolução

Resposta: Dgabarito oficial do INEP

O que a questão cobra

A questão exige encontrar a altura máxima de uma trajetória parabólica e considerar a altura do eixo em relação ao piso. Depois, é preciso comparar esse resultado com as alturas dos tetos.

Resolução

A figura mostra que o eixo x está acima do piso. Portanto, primeiro calculamos a altura máxima da bola em relação a esse eixo e depois somamos 1,5 m para obter a altura em relação ao piso.

que está localizado a 1,5 m do piso da quadra

Na função, a = -1/6 e b = -7/3. Como a parábola abre para baixo, o vértice indica o ponto mais alto da trajetória.

x do vértice = -b/(2a) = -(-7/3)/(2 × -1/6) = -7

y(-7) = -49/6 + 49/3 + 12 = 121/6 m

Altura máxima em relação ao piso = 121/6 + 1,5 = 130/6 = 65/3 m, aproximadamente 21,67 m.

Assim, a bola atinge os tetos dos ginásios I, II, III e IV, que são mais baixos que essa altura. O teto do ginásio V, com 40 m, é mais alto e não é atingido. A figura ajuda a identificar a referência usada para medir y; sem esse ajuste, a comparação com os tetos ficaria incorreta.

Alternativa por alternativa

  • A

    Não está correta: além do ginásio I, a altura máxima também ultrapassa os tetos dos ginásios II, III e IV.

  • B

    Não está correta: os tetos dos ginásios III e IV também são mais baixos que a altura máxima da bola.

  • C

    Não está correta: o teto do ginásio IV, com 21 m, também fica abaixo da altura máxima, de aproximadamente 21,67 m.

  • D

    Correta. Está correta: a bola atinge os tetos dos ginásios I, II, III e IV, todos abaixo de aproximadamente 21,67 m, mas não o teto de 40 m do ginásio V.

  • E

    Não está correta: o teto do ginásio V tem 40 m, acima da altura máxima da bola.

Para lembrarEm uma função quadrática com a < 0, a altura máxima está no vértice; ajuste o resultado se a variável y usar um eixo diferente do piso.

Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.

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