Questão 141 do ENEM 2022 comentada
Como calcular a chance de completar uma linha, coluna ou diagonal em sorteios sem reposição.
Em um jogo de bingo, as cartelas contêm 16 quadrículas dispostas em linhas e colunas. Cada quadrícula tem impresso um número, dentre os inteiros de 1 a 50, sem repetição de número. Na primeira rodada, um número é sorteado, aleatoriamente, dentre os 50 possíveis. Em todas as rodadas, o número sorteado é descartado e não participa dos sorteios das rodadas seguintes. Caso o jogador tenha em sua cartela o número sorteado, ele o assinala na cartela. Ganha o jogador que primeiro conseguir preencher quatro quadrículas que formam uma linha, uma coluna ou uma diagonal, conforme os tipos de situações ilustradas na Figura 1.
O jogo inicia e, nas quatro primeiras rodadas, foram sorteados os seguintes números: 03, 27, 07 e 48. Ao final da quarta rodada, somente Pedro possuía uma cartela que continha esses quatro números sorteados, sendo que todos os demais jogadores conseguiram assinalar, no máximo, um desses números em suas cartelas. Observe na Figura 2 o cartão de Pedro após as quatro primeiras rodadas.
A probabilidade de Pedro ganhar o jogo em uma das duas próximas rodadas é
- A
- B
- C
- D
- E
Tente resolver antes de abrir. Errar aqui é de graça.
Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão cobra probabilidade em sorteios sem reposição e a identificação das casas que faltam para completar uma linha, coluna ou diagonal.
Resolução
Ganha o jogador que primeiro conseguir preencher quatro quadrículas que formam uma linha, uma coluna ou uma diagonal
Após os quatro sorteios, restam 46 números possíveis. Na cartela, a primeira linha tem três casas marcadas: falta o 12. A quarta coluna precisa dos números 05 e 45, e a diagonal principal precisa dos números 11 e 19. A figura mostra quais casas já foram preenchidas e permite identificar essas possibilidades de completar uma sequência vencedora.
A chance de o 12 sair já no próximo sorteio é 1/46. Se isso não ocorrer, contamos as sequências de dois sorteios em que Pedro vence na segunda rodada: há 45 possibilidades com o 12 no segundo sorteio e mais 4 sequências que completam a coluna ou a diagonal. O total de sequências possíveis é 46 × 45.
Probabilidade: 1/46 + 49/(46 × 45).
Os demais jogadores tinham, no máximo, uma marcação após as quatro primeiras rodadas. Com apenas mais dois sorteios, não conseguem completar quatro casas.
Alternativa por alternativa
- A
Está errada: a chance de vitória na segunda rodada deve ser calculada entre as 46 × 45 sequências possíveis, e há 49 sequências favoráveis.
- B
Está errada: há 49 sequências favoráveis à vitória na segunda rodada, não 2.
- C
Está errada: o número de sequências favoráveis na segunda rodada é 49, não 8.
- D
Está errada: o total de sequências favoráveis na segunda rodada é 49, não 43.
- E
Correta. Está certa: soma a chance de sair 12 no próximo sorteio à chance de vencer no seguinte, com 49 sequências favoráveis entre 46 × 45 possíveis.
Para lembrarEm sorteios sem reposição, a probabilidade de uma sequência de dois resultados usa como denominador o produto das quantidades de opções em cada sorteio.
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