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Matemática ENEM 2021 difícil

Questão 156 do ENEM 2021 comentada

Como identificar amplitude, período e função trigonométrica em um gráfico de movimento periódico?

Numeração do caderno azul · Matemática

Questão 156ENEM 2021

Uma mola é solta da posição distendida conforme a figura. A figura à direita representa o gráfico da posição P (em cm) da massa m em função do tempo t (em segundo) em um sistema de coordenadas cartesianas. Esse movimento periódico é descrito por uma expressão do tipo P(t) = figura da questão ou P(t) = figura da questão, em que A>0 é a amplitude de deslocamento máximo e figura da questão é a frequência, que se relaciona com o período T pela fórmula figura da questão.

Considere a ausência de quaisquer forças dissipativas.

figura da questão

A expressão algébrica que representa as posições P(t) da massa m, ao longo do tempo, no gráfico, é

  1. A
    -3 cos (2t)
  2. B
    -3 sen (2t)
  3. C
    3 cos (2t)
  4. D
    -6 cos (2t)
  5. E
    6 cos (2t)

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Resposta: Agabarito oficial do INEP

O que a questão cobra

A questão exige que você leia a amplitude e o período no gráfico e relacione o período à frequência angular. Também é preciso observar a posição inicial para escolher entre seno e cosseno, com o sinal correto.

Resolução

Uma mola é solta da posição distendida conforme a figura.

No gráfico, a massa começa em P = −3 quando t = 0. Os extremos são −3 e 3, então a amplitude do movimento é 3. Como o gráfico volta à posição mínima em t = π, esse é o período.

T = π
ω = 2π ÷ T = 2π ÷ π = 2

Como a posição inicial é um extremo, a função cosseno representa o movimento. O sinal negativo é necessário porque, em t = 0, a posição é −3, e não 3. Assim, a expressão deve ter amplitude 3, frequência angular 2 e valor inicial −3. A função que reúne essas características é P(t) = −3 cos(2t). A figura também mostra que a posição oscila entre −3 e 3, confirmando que expressões com amplitude 6 não representam esse movimento.

Alternativa por alternativa

  • A

    Correta. P(t) = −3 cos(2t) tem amplitude 3, frequência angular 2 e começa em P(0) = −3, como no gráfico.

  • B

    −3 sen(2t) começa em P(0) = 0, mas o gráfico começa em −3.

  • C

    3 cos(2t) começa em P(0) = 3, diferente da posição inicial mostrada, que é −3.

  • D

    a amplitude de −6 cos(2t) é 6, mas o gráfico varia de −3 a 3.

  • E

    a amplitude de 6 cos(2t) também é 6, enquanto o gráfico varia de −3 a 3.

Para lembrarPara um movimento periódico, ω = 2π ÷ T; a amplitude é o maior afastamento da posição de equilíbrio, e o valor em t = 0 ajuda a escolher a função e o sinal.

Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.

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