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Matemática ENEM 2025 difícil~2 min

Questão 160 do ENEM 2025 comentada

Como usar as assíntotas e um ponto do gráfico para determinar uma função tangente.

Numeração do caderno azul · Matemática

Questão 160ENEM 2025

Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância D da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo T, em minuto, de acordo com uma função do tipo

D = k + tg[p(T + m)],

sendo os parâmetros k, p e m números reais, para T variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de D.

figura da questão

A expressão algébrica que representa a relação entre D e T é

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E

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Resposta: Egabarito oficial do INEP

O que a questão cobra

A questão exige relacionar o período e o deslocamento de uma função tangente às assíntotas verticais e a um ponto indicado no gráfico.

Resolução

estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente

Na figura, o ponto destacado indica que, em T = 2,5, a distância é D = 30. Esse é o centro do trecho da curva: nele, o argumento da tangente deve ser zero. Portanto, a função tem a forma D = 30 + tg[p(T − 2,5)].

As assíntotas aparecem em T = (5 − 2π)/2 e T = (5 + 2π)/2, isto é, em T = 2,5 − π e T = 2,5 + π. Assim, a distância do centro até cada assíntota é π. Na função tangente, essa distância corresponde a π/(2p).

π/(2p) = π

p = 1/2

Logo, D = 30 + tg[(1/2)(T − 5/2)]. É a expressão da alternativa E. O gráfico ajuda a identificar tanto o deslocamento vertical, dado pelo valor 30, quanto a escala horizontal, definida pelas posições das assíntotas.

Alternativa por alternativa

  • A

    O fator 30 produz assíntotas com intervalo π/30, diferente do intervalo 2π mostrado. Além disso, em T = 2,5, a expressão resulta em D = 2,5, não em 30.

  • B

    O fator 30 também produz assíntotas separadas por π/30, incompatível com a figura, que mostra intervalo 2π.

  • C

    O fator 2,5 produz assíntotas separadas por 2π/5, não pelo intervalo 2π indicado no gráfico.

  • D

    O fator 1/2 corresponde ao intervalo entre assíntotas, mas o centro da curva fica em T = 5, não em T = 2,5.

  • E

    Correta. O centro é (2,5; 30), e o fator 1/2 gera assíntotas em T = 2,5 ± π, como na figura.

Para lembrarPara tg[p(T − c)], o centro ocorre em T = c e as assíntotas vizinhas ficam a uma distância π/(2|p|) desse centro.

Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.

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