Questão 136 do ENEM 2021 comentada
Use a relação que define a proporção áurea para escrever uma potência como expressão linear.
Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega ρ, e seu valor é dado pela solução positiva da equação ρ²=ρ+1
Assim como a potência ρ², as potências superiores de ρ podem ser expressas da forma aρ + b, em que a e b são inteiros positivos, como apresentad0o no quadro.
A potência ρ7, escrita na forma aρ+b (a e b são inteiros positivos), é
- A5ρ+3
- B7ρ+2
- C9ρ+6
- D11ρ+7
- E13ρ+8
Tente resolver antes de abrir. Errar aqui é de graça.
Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão cobra a redução de potências usando uma relação algébrica. Você precisa expressar ρ⁷ na forma aρ+b.
Resolução
A relação dada no enunciado permite trocar ρ² por ρ+1. O quadro mostra potências sucessivas escritas na forma aρ+b; para continuar, multiplique a expressão anterior por ρ e faça essa troca sempre que aparecer ρ².
ρ²=ρ+1
ρ³ = ρ(ρ+1) = 2ρ+1
ρ⁴ = ρ(2ρ+1) = 3ρ+2
ρ⁵ = ρ(3ρ+2) = 5ρ+3
ρ⁶ = ρ(5ρ+3) = 8ρ+5
ρ⁷ = ρ(8ρ+5) = 13ρ+8
Assim, a representação pedida tem a=13 e b=8. O quadro ajuda a perceber como a expressão de cada potência é obtida a partir da anterior, mas a relação ρ²=ρ+1 é o que permite justificar o cálculo até ρ⁷.
Alternativa por alternativa
- A
5ρ+3 representa ρ⁵ no quadro, não ρ⁷. Pela relação dada, ρ⁷=13ρ+8.
- B
A expressão 7ρ+2 não coincide com o resultado obtido ao reduzir ρ⁷ usando ρ²=ρ+1: 13ρ+8.
- C
A expressão 9ρ+6 não coincide com ρ⁷, que se reduz a 13ρ+8 pela relação do enunciado.
- D
A expressão 11ρ+7 também difere do resultado da redução de ρ⁷, que é 13ρ+8.
- E
Correta. Está certa: usando ρ²=ρ+1 sucessivamente, ρ⁷ se reduz a 13ρ+8.
Para lembrarQuando ρ²=ρ+1, multiplique a expressão pela potência seguinte e substitua cada ρ² por ρ+1.
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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