Questão 172 do ENEM 2023 comentada
Como comparar áreas de círculos usando os lados de um triângulo e a medida de um ângulo.
Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores a, b e c são, respectivamente, os diâmetros dos círculos C1 , C2 e C3, como apresentados na figura.
Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área (C1) = área (C2) + área (C3).
Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.
A partir da medida do ângulo a, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.
A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois
- A0° < a < 90°
- BA = 90°
- C90° < a < 180°
- DA = 180°
- E180° < a < 360°
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O que a questão cobra
A questão relaciona a área de círculos ao quadrado de seus diâmetros. Também exige usar a lei dos cossenos para comparar os lados de um triângulo conforme seu ângulo interno.
Resolução
O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas
Na figura, os diâmetros formam os lados do triângulo. O diâmetro da pizza do professor está oposto ao ângulo α; os das pizzas dos amigos formam os lados que delimitam esse ângulo.
Pela lei dos cossenos, se d é o diâmetro da pizza do professor e d₁ e d₂ são os diâmetros das pizzas dos amigos:
d² = d₁² + d₂² − 2d₁d₂ cos α
Como α é um ângulo interno do triângulo, ele está entre 0° e 180°. Se α for maior que 90° e menor que 180°, cos α é negativo. Assim, o último termo da expressão aumenta a soma:
d² > d₁² + d₂²
A área de um círculo de diâmetro d é πd²/4. Portanto, comparar as áreas equivale a comparar os quadrados dos diâmetros. A figura permite identificar qual pizza está associada ao lado oposto a α; não é preciso medir os lados. Logo, nesse intervalo, a área da pizza do professor supera a soma das áreas das duas outras pizzas.
Alternativa por alternativa
- A
Se α está entre 0° e 90°, cos α é positivo; pela lei dos cossenos, o quadrado do diâmetro do professor é menor que a soma dos quadrados dos outros dois.
- B
Com α = 90°, cos α é zero e os quadrados dos diâmetros satisfazem a igualdade de Pitágoras; as áreas não são maiores.
- C
Correta. Para 90° < α < 180°, cos α é negativo, então o quadrado do diâmetro da pizza do professor é maior que a soma dos quadrados dos outros dois; o mesmo vale para as áreas.
- D
Com α = 180°, a figura não formaria um triângulo não degenerado. Além disso, esse não é um ângulo interno possível para o triângulo apresentado.
- E
Um ângulo entre 180° e 360° é reflexo, não um ângulo interno do triângulo formado pelos diâmetros.
Para lembrarA área do círculo é πd²/4; pela lei dos cossenos, um ângulo obtuso faz o quadrado do lado oposto superar a soma dos quadrados dos outros lados.
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