Questão 153 do ENEM 2018 comentada
Como calcular a área de um passeio circular usando uma medida tangente ao chafariz?
A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos.
O passeio terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem condições de calcular os raios, pois o chafariz está cheio, um engenheiro fez a seguinte medição: esticou uma trena tangente ao chafariz, medindo a distância entre dois pontos A e B, conforme a figura. Com isso, obteve a medida do segmento de reta AB: 16 m.
Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou corretamente a medida da área do passeio, em metro quadrado.
A medida encontrada pelo engenheiro foi
- A4π.
- B8π.
- C48π.
- D64π.
- E192π.
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Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão cobra a área de uma coroa circular e a relação entre uma corda e o raio de um círculo. Você deve usar a medida tangente para relacionar os raios da praça e do chafariz.
Resolução
“esticou uma trena tangente ao chafariz”
Na figura, o segmento AB é uma corda do círculo externo e tangencia o círculo do chafariz. Como os círculos são concêntricos, a distância do centro até AB é igual ao raio do chafariz. Além disso, a perpendicular do centro à corda divide AB ao meio.
Assim, metade de AB mede 8 m. O triângulo formado tem como catetos esse trecho e o raio do chafariz, r; sua hipotenusa é o raio da praça, R.
AB/2 = 16/2 = 8 m
Pelo teorema de Pitágoras:
R² = r² + 8² = r² + 64
A área do passeio é a área da praça menos a área do chafariz:
πR² − πr² = π(R² − r²) = 64π m²
Portanto, a medida encontrada foi 64π m².
Alternativa por alternativa
- A
A medida tangente leva a uma diferença entre os quadrados dos raios igual a 64, não a 4. Portanto, a área não é 4π.
- B
A diferença entre os quadrados dos raios é 64, então a área é 64π, e não 8π.
- C
A área calculada é 64π, não 48π. Por isso, essa medida não corresponde ao passeio.
- D
Correta. A medida tangente permite obter R² − r² = 64. Logo, a área do passeio é 64π m².
- E
A diferença entre os quadrados dos raios é 64, não 192. Assim, a área não é 192π.
Para lembrarA área de uma coroa circular é π(R² − r²); uma tangente ao círculo interno fica à distância r do centro.
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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