Questão 158 do ENEM 2020 comentada
Como contar caminhos em uma malha e excluir os que passam por um ponto proibido.
Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente.
André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita (→) ou para cima (↑), segundo o esquema da figura.
O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é
- A4
- B14
- C17
- D35
- E48
Tente resolver antes de abrir. Errar aqui é de graça.
Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão exige contar sequências de deslocamentos para a direita e para cima. Também é preciso excluir os caminhos que passam pela casa de Carlos.
Resolução
sem passar pela casa de Carlos
Pela figura, para ir de A até B, André precisa fazer 4 deslocamentos para a direita e 3 para cima. No total, são 7 movimentos. Para contar os caminhos, basta escolher em quais 3 posições ficam os movimentos para cima.
C(7, 3) = 35 caminhos
Agora, contamos os caminhos que passam por C. De A até C, são 2 movimentos para a direita e 2 para cima; de C até B, são 2 para a direita e 1 para cima.
A até C: C(4, 2) = 6 caminhos
C até B: C(3, 1) = 3 caminhos
Pelo princípio multiplicativo, há 6 × 3 = 18 caminhos que passam por C. Eles não podem ser usados, então subtraímos esse total dos 35 caminhos possíveis entre A e B.
35 − 18 = 17 caminhos
Assim, André pode escolher entre 17 caminhos sem passar pela casa de Carlos.
Alternativa por alternativa
- A
O total válido é 17 caminhos, não 4. A contagem considera todas as sequências possíveis e exclui as que passam por C.
- B
A contagem é 35 − (6 × 3) = 17, não 14. São 18 caminhos que passam por C e devem ser excluídos.
- C
Correta. Está correta: há 35 caminhos de A até B, dos quais 18 passam por C. Portanto, restam 17.
- D
35 é o total de caminhos de A até B sem nenhuma restrição. Como 18 passam por C, esse valor não responde à pergunta.
- E
Há 35 caminhos ao todo entre A e B, mesmo antes de excluir os que passam por C. Portanto, 48 não pode ser o resultado.
Para lembrarSe alguns caminhos são proibidos, conte todos os caminhos possíveis e subtraia os que passam pelo ponto que deve ser evitado.
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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