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Matemática ENEM 2019 difícil~2 min

Questão 175 do ENEM 2019 comentada

Como conservar o volume de água em reservatórios cilíndricos ligados por canos.

Numeração do caderno azul · Matemática

Questão 175ENEM 2019

Uma construtora pretende conectar um reservatório central (Rc) em formato de um cilindro, com raio interno igual a 2 m e altura interna igual a 3,30 m, a quatro reservatórios cilíndricos auxiliares (R1, R2, R3 e R4), os quais possuem raios internos e alturas internas medindo 1,5 m.

figura da questão

As ligações entre o reservatório central e os auxiliares são feitas por canos cilíndricos com 0,10 m de diâmetro interno e 20 m de comprimento, conectados próximos às bases de cada reservatório.
Na conexão de cada um desses canos com o reservatório central ha registros que liberam ou interrompem o fluxo de água.

No momento em que o reservatório central está cheio e os auxiliares estão vazios, abrem-se os quatro registros e, após algum tempo, as alturas das colunas de água nos reservatórios se igualam, assim que cessa o fluxo de água entre eles, pelo princípio dos vasos comunicantes.

A medida, em metro, das alturas das colunas de água nos reservatórios auxiliares, após cessar o fluxo de água entre eles, é

  1. A
    1,44.
  2. B
    1,16
  3. C
    1,10.
  4. D
    1,00.
  5. E
    0,95.

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Resposta: Dgabarito oficial do INEP

O que a questão cobra

A questão exige calcular volumes de cilindros e aplicar a conservação do volume de água. Também é preciso incluir a água que fica nos canos quando o fluxo cessa.

Resolução

Como as alturas se igualam, chamamos de h a altura final da água nos reservatórios. O volume inicial está todo no reservatório central:

canos cilíndricos com 0,10 m de diâmetro interno e 20 m de comprimento

A figura mostra que os canos conectam o reservatório central aos auxiliares. Depois da abertura dos registros, eles também ficam cheios; por isso, seu volume entra na conservação.

Volume inicial, em unidades de π:
2² × 3,30 = 13,2

A área das bases dos reservatórios somada é 4π + 4 × 1,5²π = 13π. O volume dos canos é:
4 × (0,05²π × 20) = 0,2π

Assim, o volume final é 13πh + 0,2π. Igualamos ao volume inicial:

13h + 0,2 = 13,2
13h = 13 h = 1 m

Portanto, a altura final da água nos reservatórios auxiliares é 1,00 m.

Alternativa por alternativa

  • A

    1,44 m não conserva o volume: 13 × 1,44 + 0,2 = 18,92, diferente de 13,2.

  • B

    1,16 m não conserva o volume: 13 × 1,16 + 0,2 = 15,28, diferente de 13,2.

  • C

    1,10 m não conserva o volume: 13 × 1,10 + 0,2 = 14,5, diferente de 13,2.

  • D

    Correta. 1,00 m é a altura correta: 13 × 1,00 + 0,2 = 13,2, igual ao volume inicial, em unidades de π.

  • E

    0,95 m não conserva o volume: 13 × 0,95 + 0,2 = 12,55, diferente de 13,2.

Para lembrarO volume de um cilindro é V = πr²h; em um sistema fechado, o volume total de água se conserva.

Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.

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