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Matemática ENEM 2019 difícil~2 min

Questão 173 do ENEM 2019 comentada

Veja como calcular a probabilidade condicional de uma declaração ser inconsistente sabendo que era fraudulenta.

Numeração do caderno azul · Matemática

Questão 173ENEM 2019

Em um determinado ano, os computadores da receita federal de um país identificaram como inconsistentes 20% das declarações de imposto de renda que lhe foram encaminhadas.
Uma declaração é classificada como inconsistente quando apresenta algum tipo de erro ou conflito nas informações prestadas. Essas declarações consideradas inconsistentes foram analisadas pelos auditores, que constataram que 25% delas eram fraudulentas.

Constatou-se, ainda, que, dentre as declarações que não apresentaram inconsistências, 6,25% eram fraudulentas.

Qual é a probabilidade de, nesse ano, a declaração de um contribuinte ser considerada inconsistente, dado que ela era fraudulenta?

  1. A
    0,0500
  2. B
    0,1000
  3. C
    0,1125
  4. D
    0,3125
  5. E
    0,5000

Tente resolver antes de abrir. Errar aqui é de graça.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: Egabarito oficial do INEP

O que a questão cobra

A questão cobra probabilidade condicional e o cálculo da probabilidade de dois eventos ocorrerem juntos. É preciso distinguir as taxas calculadas em grupos diferentes.

Resolução

Queremos a probabilidade de uma declaração ser inconsistente sabendo que ela era fraudulenta. As taxas de 25% e 6,25% se referem a grupos diferentes; por isso, primeiro calculamos quantas declarações fraudulentas há em cada grupo.

dentre as declarações que não apresentaram inconsistências, 6,25% eram fraudulentas.

A probabilidade de uma declaração ser inconsistente é 0,20. Entre essas, 0,25 são fraudulentas:

P(inconsistente e fraudulenta) = 0,20 × 0,25 = 0,05

As declarações sem inconsistências correspondem a 0,80 do total. Entre elas, 0,0625 são fraudulentas:

P(sem inconsistência e fraudulenta) = 0,80 × 0,0625 = 0,05

Somando os dois grupos, a probabilidade de uma declaração ser fraudulenta é 0,05 + 0,05 = 0,10. Assim, entre as fraudulentas, a parte inconsistente é:

P(inconsistente | fraudulenta) = 0,05 ÷ 0,10 = 0,5

Logo, a probabilidade pedida é 0,5000.

Alternativa por alternativa

  • A

    0,0500 é a probabilidade de uma declaração ser ao mesmo tempo inconsistente e fraudulenta. A questão pede essa probabilidade condicionada ao fato de ela ser fraudulenta.

  • B

    0,1000 é a probabilidade total de uma declaração ser fraudulenta. Para responder, é preciso dividir a probabilidade de ser inconsistente e fraudulenta por esse total.

  • C

    0,1125 não corresponde à probabilidade condicional pedida. Os dados indicam 0,05 para declarações inconsistentes e fraudulentas e 0,10 para o total de fraudulentas.

  • D

    0,3125 não corresponde à razão entre as declarações inconsistentes e fraudulentas e o total de fraudulentas. Com os dados do enunciado, essa razão é 0,05 ÷ 0,10.

  • E

    Correta. 0,5000 está correta: 0,05 das declarações são inconsistentes e fraudulentas, e 0,10 são fraudulentas no total. A razão entre esses valores é 0,5.

Para lembrarA probabilidade condicional é P(A | B) = P(A e B) ÷ P(B), desde que P(B) seja diferente de zero.

Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.

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