Questão 171 do ENEM 2019 comentada
Como usar combinações para contar as colorações possíveis de vagões com quantidades fixas de cada cor.
Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura.
De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por
- AC412 x C312 x C312 x C212
- BC412 + C38 + C35 + C22
- CC412 x 2 x C38 x C25
- DC412 + 2 + C312 + C312
- EC412 x C38 x C35 x C22
Tente resolver antes de abrir. Errar aqui é de graça.
Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão cobra o princípio multiplicativo e o uso de combinações para escolher vagões de cada cor. Também exige perceber que a ordem dos vagões já está definida pela numeração.
Resolução
A figura mostra os vagões em uma ordem determinada pela numeração. Assim, você não precisa contar maneiras de reorganizá-los: basta escolher quais receberão cada cor.
ordenados crescentemente segundo suas numerações
Primeiro, escolha 4 dos 12 vagões para pintar de vermelho. Restam 8; entre eles, escolha 3 para pintar de azul. Depois, restam 5; escolha 3 para pintar de verde. Os 2 que sobram serão amarelos, o que pode ser representado por escolher 2 entre esses 2.
C(12,4) × C(8,3) × C(5,3) × C(2,2)
Como as escolhas das quatro cores precisam ocorrer juntas, multiplicamos as combinações. A expressão corresponde à alternativa E. A ordem crescente mostrada na figura garante que cada seleção de cores determina um único trem, sem contar uma mesma coloração em ordens diferentes.
Alternativa por alternativa
- A
Está errada porque escolhe cada grupo de cor entre os 12 vagões, sem retirar os já escolhidos; assim, os grupos podem se sobrepor.
- B
Está errada porque soma as escolhas, embora seja necessário escolher os grupos das quatro cores ao mesmo tempo.
- C
Está errada porque não representa corretamente as quantidades de vagões escolhidos para cada cor: após o grupo azul, devem ser escolhidos 3 dos 5 restantes para verde e 2 dos 2 restantes para amarelo.
- D
Está errada porque soma escolhas, em vez de combinar os grupos de cores. Além disso, não representa a escolha dos quatro grupos com as quantidades exigidas.
- E
Correta. Está certa porque escolhe 4 dos 12 vagões para vermelho, 3 dos 8 restantes para azul, 3 dos 5 restantes para verde e os 2 restantes para amarelo.
Para lembrarQuando você realiza escolhas sucessivas e independentes entre si, multiplica as quantidades de possibilidades de cada etapa.
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