Questão 169 do ENEM 2019 comentada
Como usar distâncias entre pontos e raios de circunferências para identificar uma região de alcance comum.
Um aplicativo de relacionamentos funciona da seguinte forma: o usuário cria um perfil com foto e informações pessoais, indica as características dos usuários com quem deseja estabelecer contato e determina um raio de abrangência a partir da sua localização. O aplicativo identifica as pessoas que se encaixam no perfil desejado e que estão a uma distância do usuário menor ou igual ao raio de abrangência. Caso dois usuários tenham perfis compatíveis e estejam numa região de abrangência comum a ambos, o aplicativo promove o contato entre os usuários, o que é chamado de match.
O usuário P define um raio de abrangência com medida de 3 km e busca ampliar a possibilidade de obter um match se deslocando para a região central da cidade, que concentra um maior número de usuários. O gráfico ilustra alguns bares que o usuário P costuma frequentar para ativar o aplicativo, indicados por I, II, III, IV e V.
Sabe-se que os usuários Q, R e S, cujas posições estão descritas pelo gráfico, são compatíveis com o usuário P, e que estes definiram raios de abrangência respectivamente iguais a 3 km, 2 km e 5 km.
Com base no gráfico e nas afirmações anteriores, em qual bar o usuário P teria a possibilidade de um match com os usuários R, R e S, simultaneamente?
- AI.
- BII.
- CIII.
- DIV.
- EV.
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O que a questão cobra
A questão cobra a interpretação das coordenadas no plano e o cálculo de distâncias entre pontos. Você precisa verificar se cada bar está dentro do alcance simultâneo dos usuários.
Resolução
No gráfico, os eixos mostram as posições em quilômetros. Para haver contato, o bar escolhido deve estar ao alcance de P e dos três usuários. Em cada caso, compare a distância do bar até o usuário com os dois raios envolvidos: o de P, que é 3 km, e o do outro usuário.
estejam numa região de abrangência comum a ambos
No bar I, de coordenadas (5, 6), as distâncias até Q, R e S são:
Q: √[(5 − 3)² + (6 − 7)²] = √5 km.
R: √[(5 − 6)² + (6 − 7)²] = √2 km.
S: √[(5 − 5)² + (6 − 3)²] = 3 km.
Todas cabem nos raios de P e dos respectivos usuários: √5 ≤ 3, √2 ≤ 2 e 3 ≤ 3 (além de 3 ≤ 5 para S). Assim, no bar I, há uma região de alcance comum para P e cada usuário. Nos demais bares, pelo menos um usuário fica fora do alcance necessário, como mostram as alternativas.
Alternativa por alternativa
- A
Correta. no bar I, as distâncias até Q, R e S são √5 km, √2 km e 3 km, compatíveis com os raios envolvidos.
- B
no bar II, a distância até R é √8 km, maior que o raio de 2 km desse usuário.
- C
no bar III, a distância até Q é √8 km, maior que o raio de 3 km de P.
- D
no bar IV, a distância até R é √5 km, maior que o raio de 2 km desse usuário.
- E
no bar V, a distância até R é √18 km, maior que o raio de 2 km desse usuário.
Para lembrarA distância entre (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]; para haver alcance comum, ela não pode superar nenhum dos raios.
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