Questão 175 do ENEM 2013 comentada
Como localizar no plano cartesiano um ponto à mesma distância de três antenas.
A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas.
O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas
- A(65 ; 35).
- B(53 ; 30).
- C(45 ; 35).
- D(50 ; 20).
- E(50 ; 30).
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Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão cobra a leitura de coordenadas no plano cartesiano e a comparação das distâncias entre pontos. Você precisa identificar o ponto que fica à mesma distância das três antenas.
Resolução
No gráfico, as posições das antenas são A = (30, 20), B = (70, 20) e C = (60, 50). Os eixos indicam as coordenadas em quilômetros.
A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas.
Como A e B estão na mesma altura e simetricamente posicionadas em relação a x = 50, um ponto com essa coordenada fica à mesma distância das duas. Para comparar também com C, testamos o ponto (50, 30):
Distância² até A: (50 − 30)² + (30 − 20)² = 500.
Distância² até B: (50 − 70)² + (30 − 20)² = 500.
Distância² até C: (50 − 60)² + (30 − 50)² = 500.
Como as três distâncias ao quadrado são iguais, as distâncias também são iguais. A figura permite ler as posições das antenas; a comparação das distâncias confirma o local adequado para a torre.
Alternativa por alternativa
- A
(65, 35) não serve: as distâncias ao quadrado até A e B são, respectivamente, 1 450 e 250. Portanto, o ponto não é equidistante das três antenas.
- B
(53, 30) não serve: as distâncias ao quadrado até A e B são 629 e 389. Como não são iguais, o ponto não atende à condição.
- C
(45, 35) não serve: as distâncias ao quadrado até A e B são 450 e 850. Logo, o ponto já não é equidistante dessas duas antenas.
- D
(50, 20) fica à mesma distância de A e B, mas as distâncias ao quadrado até A e C são 400 e 1 000. Assim, não é equidistante das três.
- E
Correta. (50, 30) é a correta: as distâncias ao quadrado até A, B e C são todas iguais a 500. Portanto, as três distâncias são iguais.
Para lembrarNo plano cartesiano, a distância entre (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é dada por d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².
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