Questão 138 do ENEM 2018 comentada
Como comparar retas e circunferências para encontrar a trajetória que marca mais pontos no plano cartesiano.
Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: A(0 ; 4), 6(4 ; 4), C(4 ; 0), D(2 ; 2) e E(0; 2).
Passando pelo ponto A, qual equação forneceria a maior pontuação?
- AX = 0
- BY = 0
- CX² + y² =16
- DX² + (y-2)² = 4
- E(x -2 )² + ( y - 2 )² = 8
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O que a questão cobra
A questão exige identificar quais pontos pertencem a cada reta ou circunferência e aplicar a pontuação indicada. Também é preciso considerar que a trajetória deve passar por A e pela origem.
Resolução
A figura confirma a posição dos pontos no plano e ajuda a verificar quais ficam sobre cada trajetória. Para uma circunferência, contam 2 pontos por alvo atingido, sem incluir a origem.
cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos.
Na alternativa E, o centro da circunferência é (2, 2). A distância ao centro, ao quadrado, é 8 para A, B, C e E; portanto, os quatro pontos estão na circunferência. D é o centro e não está sobre ela. A trajetória também passa pela origem.
Pontuação da alternativa E: 4 × 2 = 8 pontos.
A alternativa A atinge A e E, então marca 2 pontos. A B não passa por A. A C atinge A e C e marca 4 pontos. A D atinge A e D e também marca 4 pontos. Assim, entre as equações que passam por A e pela origem, a E atinge mais pontos.
Alternativa por alternativa
- A
A reta x = 0 passa por A e pela origem, mas atinge apenas A e E entre os pontos restantes. Como cada ponto vale 1, marca 2 pontos.
- B
A reta y = 0 não passa por A(0, 4), então não atende à condição da pergunta.
- C
A circunferência passa por A e pela origem, mas atinge apenas A e C entre os pontos restantes. Sua pontuação é 2 × 2 = 4.
- D
A circunferência passa por A e pela origem, mas atinge apenas A e D entre os pontos restantes. Sua pontuação é 2 × 2 = 4.
- E
Correta. A circunferência passa por A e pela origem e atinge A, B, C e E. São quatro pontos valendo 2 cada, totalizando 8 pontos.
Para lembrarEm uma circunferência de centro (a, b) e raio r, um ponto (x, y) pertence a ela quando (x − a)² + (y − b)² = r².
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