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Matemática ENEM 2009 difícil

Questão 174 do ENEM 2009 comentada

Como relacionar o comprimento de um arco à distância percorrida pela projeção de um ponto sobre o eixo x.

Numeração do caderno azul · Matemática

Questão 174ENEM 2009

Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d ≤ r sobre a circunferência.

figura da questão

Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por

  1. A
    R( 1 - sen d/r ).
  2. B
    R( 1 - cos d/r ).
  3. C
    R( 1 - tag d/r ).
  4. D
    Rsen (r/d).
  5. E
    Rcos (r/d).

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Resposta: Bgabarito oficial do INEP

O que a questão cobra

A questão exige relacionar o comprimento de um arco ao ângulo central correspondente e usar o cosseno para obter a variação horizontal da projeção.

Resolução

suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d ≤ r sobre a circunferência.

Na figura, o raio horizontal liga P ao centro da circunferência. Assim, P começa no ponto mais à esquerda, e Q marca sua projeção no eixo x. Quando P percorre o arco, Q se desloca horizontalmente.

O comprimento de um arco é o produto do raio pelo ângulo central, medido em radianos. Portanto, o ângulo percorrido é:

θ = d/r

A coordenada horizontal de P, em relação ao centro, passa de −r para −r cos θ. Logo, a distância percorrida por Q é a variação entre essas posições:

distância = −r cos θ − (−r)

= r(1 − cos θ)

Substituindo θ por d/r, obtemos r(1 − cos(d/r)). Essa expressão corresponde à alternativa B. O cosseno aparece porque determina a componente horizontal do raio; subtrair essa componente do raio inicial dá o deslocamento de Q.

Alternativa por alternativa

  • A

    O seno está relacionado à componente vertical do raio, não à variação horizontal de Q. Por isso, essa expressão não representa a distância pedida.

  • B

    Correta. O ângulo central é d/r, e a variação horizontal é r menos a componente horizontal r cos(d/r).

  • C

    A tangente não fornece a componente horizontal do raio nem a diferença entre as posições inicial e final de Q.

  • D

    A expressão usa r/d, mas o ângulo correspondente ao arco é d/r. Além disso, o seno não determina a variação horizontal de Q.

  • E

    O ângulo aparece como r/d, em vez de d/r, e a expressão não calcula a diferença em relação à posição inicial de Q.

Para lembrarPara um arco de comprimento d numa circunferência de raio r, o ângulo central em radianos é θ = d/r.

Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.

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