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Matemática ENEM 2018 difícil

Questão 161 do ENEM 2018 comentada

Como usar a razão entre distâncias a dois focos para determinar o maior afastamento possível entre bombeiros.

Numeração do caderno azul · Matemática

Questão 161ENEM 2018

Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de 30m um do outro, os bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura menos elevada.

Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é

  1. A
    30.
  2. B
    40.
  3. C
    45.
  4. D
    60.
  5. E
    68.

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Ver a resposta e a resolução

Resposta: Bgabarito oficial do INEP

O que a questão cobra

A questão cobra o lugar geométrico dos pontos cuja distância a dois pontos fixos tem uma razão constante. Esse conjunto forma uma circunferência, e a maior distância entre dois pontos dela é o diâmetro.

Resolução

fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B.

Cada bombeiro deve ficar em um ponto cuja distância ao foco A seja o dobro da distância ao foco B. Para encontrar esses pontos, coloque A em (0, 0) e B em (30, 0). Se um bombeiro está em P = (x, y), então:

√(x² + y²) = 2√((x − 30)² + y²)

Elevando os dois lados ao quadrado e simplificando:

x² + y² = 4[(x − 30)² + y²]

(x − 40)² + y² = 400

Essa equação representa uma circunferência de centro (40, 0) e raio 20 m. Dois bombeiros podem ocupar pontos dessa circunferência. A maior distância entre eles ocorre em pontos opostos, nas extremidades de um diâmetro:

d = 2 × 20 = 40 m

Logo, a maior distância possível entre os bombeiros é 40 m.

Alternativa por alternativa

  • A

    30 m não é a maior distância: o diâmetro do lugar geométrico dos bombeiros mede 40 m.

  • B

    Correta. Está correta: a circunferência tem raio 20 m, então seu diâmetro, que é a maior distância entre dois pontos dela, mede 40 m.

  • C

    45 m não pode ser a distância máxima, pois ultrapassa o diâmetro de 40 m da circunferência.

  • D

    60 m não pode ser a distância máxima, pois ultrapassa o diâmetro de 40 m da circunferência.

  • E

    68 m não pode ser a distância máxima, pois ultrapassa o diâmetro de 40 m da circunferência.

Para lembrarA maior distância entre dois pontos de uma circunferência é o diâmetro: d = 2r.

Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.

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