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Matemática ENEM 2015 difícil

Questão 165 do ENEM 2015 comentada

Veja como comparar a área de uma piscina formada por setores circulares com a área de um retângulo.

Numeração do caderno azul · Matemática

Questão 165ENEM 2015

figura da questão

O parque aquático já conta com uma piscina em formato retangular com dimensões 50 m x 24 m.

O proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já existente.

Considere 3,0 como aproximação para π.

O maior valor possível para R, em metros, deverá ser

  1. A
    16.
  2. B
    28.
  3. C
    29.
  4. D
    31.
  5. E
    49.

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Ver a resposta e a resolução

Resposta: Bgabarito oficial do INEP

O que a questão cobra

A questão cobra o cálculo da área de setores circulares e a comparação entre áreas. Você precisa usar a condição de que a nova piscina deve ocupar menos espaço que a existente.

Resolução

A piscina existente tem formato retangular. Pela figura, a nova piscina é composta por três setores circulares de 60°, todos com raio R. Assim, você soma as áreas dos três setores e compara o resultado com a área do retângulo.

O proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já existente.

Área da piscina existente:
50 × 24 = 1 200 m²

Área dos três setores, usando π ≈ 3:
3 × (60/360) × 3R² = 1,5R²

Para a nova piscina ocupar menos área:
1,5R² < 1 200
R² < 800
R < √800 ≈ 28,28

Entre as alternativas, 28 é o maior valor que satisfaz a condição. Com R = 28, a área é 1 176 m², menor que 1 200 m². Já R = 29 ultrapassa esse limite. Portanto, a maior opção possível é 28 m.

Alternativa por alternativa

  • A

    Com R = 16, a área seria 384 m², menor que 1 200 m². Mas 28 também atende à condição e é maior.

  • B

    Correta. Com R = 28, a área seria 1 176 m², menor que 1 200 m². É a maior opção que satisfaz a condição.

  • C

    Com R = 29, a área seria 1 261,5 m², maior que 1 200 m².

  • D

    Com R = 31, a área seria 1 441,5 m², maior que 1 200 m².

  • E

    Com R = 49, a área seria 3 601,5 m², maior que 1 200 m².

Para lembrarA área de um setor circular é a fração do ângulo central em relação a 360° multiplicada por πR².

Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.

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