Questão 155 do ENEM 2015 comentada
Como relacionar áreas de círculos tangentes para calcular a ampliação de uma cobertura.
O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores.
Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em
- A8π.
- B12π.
- C16π.
- D32π.
- E64π.
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O que a questão cobra
A questão exige relacionar os raios de círculos tangentes e calcular áreas circulares. Também é necessário conhecer o raio das áreas menores para obter um resultado numérico.
Resolução
sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores.
Na figura, o ponto O é o centro da nova cobertura e também o ponto de tangência entre as duas coberturas menores. Assim, se cada círculo menor tem raio r, o raio do círculo maior é 2r.
A área ampliada corresponde à área do círculo maior menos as áreas dos dois círculos menores:
Área ampliada = π(2r)² − 2πr² = 2πr².
Para chegar à alternativa oficial A, o raio de cada cobertura menor precisa ser 2 km:
Área ampliada = 2π · 2² = 8π km².
A figura permite estabelecer a relação entre os raios, mas o texto e a imagem enviados não informam que o raio menor mede 2 km. Portanto, esse dado necessário ao cálculo numérico parece estar ausente da versão apresentada.
Alternativa por alternativa
- A
Correta. É a alternativa oficial e resulta em 8π km² quando o raio de cada cobertura menor é 2 km. Esse valor do raio, porém, não aparece no material enviado.
- B
12π km² não resulta da fórmula 2πr² com raio de 2 km; a ampliação seria 8π km².
- C
16π km² não resulta da fórmula 2πr² com raio de 2 km; a ampliação seria 8π km².
- D
32π km² não resulta da fórmula 2πr² com raio de 2 km; a ampliação seria 8π km².
- E
64π km² não resulta da fórmula 2πr² com raio de 2 km; a ampliação seria 8π km².
Para lembrarA área de um círculo é πr²; ao subtrair as áreas cobertas antes da ampliação, compare a área nova com a soma das áreas menores.
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