Questão 137 do ENEM 2018 comentada
Como aplicar juros compostos e logaritmos para identificar a primeira parcela antecipável com desconto acima de 25%.
Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula:
Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.
Utilize 0,2877 como aproximação para In 
e 0,0131 como aproximação para In (1,0132).
A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a
- A56ª
- B55ª
- C52ª
- D51ª
- E45ª
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O que a questão cobra
A questão exige calcular o valor presente de uma parcela futura e comparar o desconto com um limite percentual. Também cobra o uso de logaritmos para encontrar o período mínimo.
Resolução
A figura apresenta a relação entre o valor presente e o valor futuro em juros compostos. Para a parcela antecipada, o valor futuro é R$ 820,00; o desconto supera 25% quando seu valor presente é menor que 75% desse total.
desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.
Assim, o valor presente deve ser menor que R$ 615,00. Pela fórmula da figura, isso exige que o fator de crescimento seja maior que 4/3. Se a parcela antecipada é a de número k, o período de antecipação em relação à 30ª é n = k − 30 meses.
(1,0132)ⁿ > 4/3
n · ln(1,0132) > ln(4/3)
n > 0,2877 ÷ 0,0131 ≈ 21,96
Como n é um número inteiro de meses, o menor período que atende à desigualdade é 22 meses. Portanto, a primeira parcela que pode ser antecipada é a de número 30 + 22 = 52.
Alternativa por alternativa
- A
A 56ª parcela corresponde a 26 meses de antecipação e atende ao limite, mas não é a primeira: a 52ª já atende.
- B
A 55ª parcela corresponde a 25 meses de antecipação e também atende ao limite, mas a 52ª pode ser antecipada antes.
- C
Correta. A 52ª parcela corresponde a 22 meses de antecipação, o menor número inteiro de meses que supera o limite de desconto.
- D
A 51ª parcela corresponde a 21 meses de antecipação, período menor que o mínimo necessário para o desconto superar 25%.
- E
A 45ª parcela corresponde a 15 meses de antecipação, período insuficiente para o desconto superar 25%.
Para lembrarEm juros compostos, valor presente = valor futuro ÷ (1 + taxa)ⁿ; compare o valor presente ao limite para determinar o período mínimo.
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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