Questão 149 do ENEM 2020 comentada
Como transformar a lei de Zipf em uma relação entre os logaritmos da frequência e do ranking.
A Lei de Zipf, batizada com o nome do linguista americano George Zipf, é uma lei empírica que relaciona a frequência (f) de uma palavra em um dado texto com o seu ranking (r). Ela é dada por
O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as palavras por ordem de frequência. Ou seja, r = 1 para a palavra mais frequente, r = 2 para a segunda palavra mais frequente e assim sucessivamente. A e B são constantes positivas.
Disponível em: http://klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020 (adaptado).
Com base nos valores de X = log (r) e Y = log (f), é possível estimar valores para A e B.
No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre Y e X é
- A
- B
- C
- D
- E
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O que a questão cobra
A questão cobra a aplicação das propriedades dos logaritmos a uma função de potência. Também exige reconhecer a forma linear obtida ao definir novas variáveis.
Resolução
Na figura do enunciado, a frequência é dada por uma constante dividida pelo ranking elevado a uma potência. Aplicamos o logaritmo aos dois lados e usamos as propriedades do logaritmo de um quociente e de uma potência:
f = A/r^B
Y = log(f) = log(A/r^B)
Y = log(A) - B · log(r)
Como o enunciado define X = log(r), substituímos essa expressão:
Y = log(A) - B · X
Assim, Y depende linearmente de X: o termo constante é log(A), e o coeficiente de X é -B. A relação que representa essa expressão é a da alternativa A.
Alternativa por alternativa
- A
Correta. Está certa: aplicando logaritmo à lei, obtemos Y = log(A) - B · X.
- B
Não representa a propriedade do logaritmo de um quociente, que resulta em uma diferença, não em uma divisão por X + log(B).
- C
Não representa a relação geral: o coeficiente de X deve ser -B, e o termo constante deve ser log(A).
- D
Não se sustenta porque coloca X no denominador, mas a expressão obtida é linear em X.
- E
Não se sustenta porque coloca X elevado a B no denominador; a aplicação do logaritmo produz uma relação linear.
Para lembrarPara A > 0 e r > 0, log(A/r^B) = log(A) - B · log(r).
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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