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Matemática ENEM 2017 difícil

Questão 161 do ENEM 2017 comentada

Como determinar as dimensões de um retângulo que maximizam sua área com perímetro fixo.

Numeração do caderno azul · Matemática

Questão 161ENEM 2017

Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais.

figura da questão

Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima?

  1. A
    1 e 49
  2. B
    1 e 99
  3. C
    10 e 10
  4. D
    25 E 25
  5. E
    50 E 50

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Ver a resposta e a resolução

Resposta: Dgabarito oficial do INEP

O que a questão cobra

A questão cobra a relação entre perímetro e área de um retângulo. Você precisa representar a área por uma função quadrática e encontrar seu valor máximo.

Resolução

Na figura, X e Y indicam os lados da base retangular. Como a tela é usada apenas nas laterais, os 100 metros correspondem ao perímetro da base, não incluem a parte de cima nem o fundo.

utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais

Assim, há dois lados de medida X e dois de medida Y:

2X + 2Y = 100

Logo, X + Y = 50, então Y = 50 − X. A área da base é o produto dos lados:

A(X) = X(50 − X) = −X² + 50X

Essa função quadrática tem concavidade voltada para baixo, portanto seu vértice indica a área máxima. A coordenada X do vértice é −b/(2a):

X = −50/[2(−1)] = 25

Y = 50 − 25 = 25

Portanto, as dimensões que maximizam a área são 25 m por 25 m. A figura ajuda a identificar que X e Y são medidas da base; a altura do viveiro não entra no cálculo da área pedida.

Alternativa por alternativa

  • A

    Com X = 1 e Y = 49, o perímetro é 100 m, mas a área é 49 m², menor que a máxima, de 625 m².

  • B

    Com X = 1 e Y = 99, o perímetro seria 200 m, acima dos 100 m de tela disponíveis.

  • C

    Com X = 10 e Y = 10, o perímetro seria 40 m, não os 100 m de tela previstos.

  • D

    Correta. Com X = 25 e Y = 25, o perímetro é 100 m e a área é 625 m², o valor máximo.

  • E

    Com X = 50 e Y = 50, o perímetro seria 200 m, acima dos 100 m de tela disponíveis.

Para lembrarPara um perímetro fixo, a área de um retângulo é máxima quando seus lados têm a mesma medida.

Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.

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