Questão 160 do ENEM 2017 comentada
Entenda como contar as pinturas possíveis de uma figura dividida em regiões vizinhas.
O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem formando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes.
De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas?
- A15
- B30
- C108
- D360
- E972
Tente resolver antes de abrir. Errar aqui é de graça.
Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão cobra o princípio multiplicativo aplicado à coloração de regiões. Você precisa considerar quantas cores ficam disponíveis em cada escolha.
Resolução
regiões vizinhas tenham cores diferentes.
A figura divide a logomarca em seis regiões, e suas relações de vizinhança não formam ciclos. Por isso, você pode começar por uma região e seguir pelas demais, escolhendo cada região depois de uma região vizinha já colorida.
Na primeira região, há quatro opções: verde, amarelo, azul ou branco. Em cada uma das outras cinco, a cor da região vizinha já usada não pode se repetir. Restam, então, três opções para cada escolha.
O enunciado disponibiliza as quatro cores; não exige que todas apareçam na pintura. Pelo princípio multiplicativo, basta multiplicar as opções de cada etapa:
4 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 4 × 3⁵ = 972
Logo, há 972 maneiras de pintar a logomarca respeitando a regra de vizinhança.
Alternativa por alternativa
- A
15 não é o total: a primeira região tem quatro opções, e cada uma das outras cinco tem três. O produto dessas escolhas é 972.
- B
30 não considera todas as escolhas possíveis para as seis regiões. Aplicando as quatro opções iniciais e as três opções seguintes, o total é 972.
- C
108 não corresponde ao produto das opções permitidas em cada etapa. As escolhas são 4 × 3⁵, que resulta em 972.
- D
360 também não é o total obtido pelas escolhas das seis regiões. Respeitando as cores diferentes nas vizinhanças, o produto é 4 × 3⁵ = 972.
- E
Correta. Está correta: há quatro opções para a primeira região e três para cada uma das outras cinco. Assim, 4 × 3⁵ = 972.
Para lembrarNo princípio multiplicativo, multiplique as opções de cada etapa; se uma cor já aparece numa região vizinha, ela não pode ser repetida.
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