Questão 180 do ENEM 2024 comentada
Como usar combinações e o princípio aditivo para contar equipes com uma quantidade mínima de profissionais de um grupo.
Um hospital tem 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas em seu quadro de funcionários. Para executar determinada atividade, a direção desse hospital formará uma equipe com 5 médicos, sendo, pelo menos, 3 cardiologistas.
A expressão numérica que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é
- A
- B
- C
- D
- E
Tente resolver antes de abrir. Errar aqui é de graça.
Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão exige contar escolhas sem considerar a ordem dos médicos. Você deve separar os casos possíveis e somar suas quantidades.
Resolução
sendo, pelo menos, 3 cardiologistas.
A equipe tem cinco médicos, então pode ter 3, 4 ou 5 cardiologistas. Em cada caso, você também escolhe os neurologistas necessários para completar a equipe.
3 cardiologistas e 2 neurologistas: C(7,3) × C(6,2) = 7!/(3! × 4!) × 6!/(2! × 4!)
4 cardiologistas e 1 neurologista: C(7,4) × C(6,1) = 7!/(4! × 3!) × 6!/(1! × 5!)
5 cardiologistas e 0 neurologistas: C(7,5) × C(6,0) = 7!/(5! × 2!) × 6!/(0! × 6!)
Em cada caso, as escolhas dos dois grupos são independentes, por isso multiplicamos. Como os casos não se sobrepõem, somamos os resultados. Na figura, a alternativa E representa justamente essa soma de produtos. Assim, ela conta todas as equipes possíveis sem incluir equipes com menos de três cardiologistas.
Alternativa por alternativa
- A
Está errada: as frações não dividem pelos fatoriais necessários para contar escolhas sem considerar a ordem.
- B
Está errada: conta apenas equipes com 3 cardiologistas e 2 neurologistas, deixando de fora as equipes com 4 ou 5 cardiologistas.
- C
Está errada: soma escolhas de grupos separadamente, sem combinar cardiologistas e neurologistas para formar equipes de cinco médicos.
- D
Está errada: multiplica expressões que representam casos diferentes, em vez de somar os casos possíveis e multiplicar as escolhas dentro de cada caso.
- E
Correta. Está certa: soma os casos com 3, 4 ou 5 cardiologistas, multiplicando em cada um as escolhas de cardiologistas e neurologistas.
Para lembrarPara contar escolhas de grupos independentes, multiplique as possibilidades; para somar casos distintos, some seus resultados.
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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