Questão 156 do ENEM 2017 comentada
Veja como calcular o raio de uma circunferência a partir das hastes de um compasso e de um ângulo.
Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse de 120o. A ponta seca está representada pelo ponto C, a ponta do grafite está representada pelo ponto B e a cabeça do compasso está representada pelo ponto A conforme a figura.
Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados.
O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será
- AI
- BII
- CIII
- DIV
- EV
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Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão cobra o cálculo do lado de um triângulo com dois lados conhecidos e o ângulo entre eles. Depois, é preciso comparar o raio encontrado com os intervalos da tabela.
Resolução
Na figura, C é a ponta seca, que fica no centro da circunferência, e B é a ponta do grafite, na borda. Assim, CB é o raio procurado. As hastes medem 10 cm, e o ângulo entre elas é o ângulo BAC.
o comprimento das hastes é de 10 cm
ângulo formado por elas fosse de 120o.
No triângulo ABC, AB = AC = 10 cm. Pela lei dos cossenos:
CB² = 10² + 10² − 2 · 10 · 10 · cos(120°)
Como cos(120°) = −1/2:
CB² = 300
CB = 10√3 ≈ 10 · 1,7 = 17 cm
A figura mostra que CB vai do centro à borda, portanto esse valor é o raio da tampa. O raio de aproximadamente 17 cm está no intervalo 15 < R ≤ 21, correspondente ao material IV.
Alternativa por alternativa
- A
O material I corresponde a 0 < R ≤ 5, intervalo que não contém o raio de aproximadamente 17 cm.
- B
O material II corresponde a 5 < R ≤ 10, intervalo que não contém o raio de aproximadamente 17 cm.
- C
O material III corresponde a 10 < R ≤ 15; o raio de aproximadamente 17 cm ultrapassa esse intervalo.
- D
Correta. O material IV corresponde a 15 < R ≤ 21, intervalo que contém o raio de aproximadamente 17 cm.
- E
O material V corresponde a 21 < R ≤ 40; o raio de aproximadamente 17 cm não alcança esse intervalo.
Para lembrarEm um triângulo com dois lados e o ângulo entre eles conhecidos, use a lei dos cossenos: c² = a² + b² − 2ab cos(θ).
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