Questão 143 do ENEM 2017 comentada
Como contar distribuições de carrinhos entre cores quando a ordem não altera o modelo e cada cor deve aparecer.
Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.
No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo.
Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?
- AC6,4
- BC9,3
- CC10,4
- D64
- E46
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Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão exige contar distribuições de objetos entre categorias sem considerar a ordem. Também é preciso garantir que cada cor apareça pelo menos uma vez.
Resolução
A figura contextualiza os carrinhos transportados pela carreta. Para contar os modelos, o que importa é a quantidade de carrinhos de cada cor, não a posição deles.
Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo.
Como cada uma das quatro cores deve aparecer, separamos um carrinho para cada cor. Restam 6 carrinhos para distribuir entre as quatro cores. Essa distribuição pode incluir quantidades iguais a zero para os carrinhos restantes, pois cada cor já tem um garantido.
O número de distribuições de 6 carrinhos entre 4 cores é dado por combinações com repetição:
C(6 + 4 − 1, 4 − 1) = C(9, 3) = 84
A cor fixa do caminhão não cria escolhas adicionais. Portanto, há 84 modelos distintos, contados pela alternativa B.
Alternativa por alternativa
- A
C(6, 4) = 15, mas essa expressão não conta as distribuições dos 10 carrinhos entre as quatro cores com todas presentes.
- B
Correta. Está certa: C(9, 3) = 84 conta as distribuições dos 6 carrinhos restantes entre as quatro cores, depois de garantir um de cada cor.
- C
C(10, 4) = 210 não representa a contagem exigida, pois não considera corretamente a exigência de pelo menos um carrinho de cada cor nem a irrelevância das posições.
- D
O valor 64 não corresponde ao número de distribuições possíveis; a contagem adequada é C(9, 3) = 84.
- E
O valor 46 também não corresponde ao número de distribuições possíveis; a contagem adequada é C(9, 3) = 84.
Para lembrarPara distribuir n objetos indistinguíveis entre k categorias, com pelo menos um em cada, use C(n − 1, k − 1).
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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