Questão 168 do ENEM 2016 comentada
Aprenda a contar senhas com letras e algarismos em posições variadas, considerando maiúsculas e minúsculas.
Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.
Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012.
O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por
- A
- B
- C
- D
- E
Tente resolver antes de abrir. Errar aqui é de graça.
Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão cobra o princípio multiplicativo e a contagem das maneiras de distribuir letras e algarismos em uma senha. Também exige considerar que letras maiúsculas e minúsculas são diferentes.
Resolução
uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.
Cada letra pode ser maiúscula ou minúscula. Como são 26 letras, há 52 possibilidades para cada uma das duas posições com letras. Para cada posição com algarismo, há 10 possibilidades.
Falta contar em quais posições ficam as duas letras e os dois algarismos. Como há dois elementos de cada tipo, o número de distribuições é:
4! ÷ (2! × 2!) = 6
Assim, multiplicamos as possibilidades dos caracteres pelo número de distribuições:
10² × 52² × 6 = 1.622.400
A expressão da alternativa E considera os 10 algarismos, as 52 opções de letra e as seis maneiras de organizar os dois tipos de caractere. O enunciado não proíbe a repetição, então cada posição pode ser preenchida independentemente. Por isso, o total de senhas possíveis é 1.622.400.
Alternativa por alternativa
- A
Está errada porque considera apenas 26 opções para cada letra e não inclui as diferentes posições possíveis dos dois tipos de caractere.
- B
Está errada porque usa 52 opções por letra, mas não conta as seis maneiras de distribuir letras e algarismos nas quatro posições.
- C
Está errada porque usa 4! ÷ 2!, que conta 12 distribuições; como há dois caracteres de cada tipo, é preciso dividir também por 2! para cada par.
- D
Está errada porque considera 26 opções para cada letra, embora o enunciado diferencie letras maiúsculas e minúsculas. A expressão correta usa 52².
- E
Correta. Está certa: 10² conta os algarismos, 52² conta as letras com distinção de maiúsculas e minúsculas, e 4! ÷ (2! × 2!) conta as posições.
Para lembrarPelo princípio multiplicativo, multiplique as possibilidades de cada escolha; para distribuir itens repetidos por tipo, divida por seus fatoriais.
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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