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Matemática ENEM 2016 difícil~2 min

Questão 169 do ENEM 2016 comentada

Como usar a curva de Lorenz e as áreas do gráfico para ajustar a participação salarial dos 10% mais bem pagos.

Numeração do caderno azul · Matemática

Questão 169ENEM 2016

figura da questão

O Índice de Gini, que mede o grau de concentração de renda de um determinado grupo, pode ser calculado pela razão A/(A + B) em que A e B são as medidas das áreas indicadas no gráfico.

A empresa tem como meta tornar seu Índice de Gini igual ao do país, que é 0,3. Para tanto, precisa ajustar os salários de modo a alterar o percentual que representa a parcela recebida pelos 10% dos funcionários de maior salário em relação ao total da massa salarial.

Disponível em: www.ipea.gov.br. Acesso em: 4 maio 2016 (adaptado)

Para atingir a meta desejada, o percentual deve ser

  1. A
    40%
  2. B
    20%
  3. C
    60%
  4. D
    30%
  5. E
    70%

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Ver a resposta e a resolução

Resposta: Agabarito oficial do INEP

O que a questão cobra

A questão exige interpretar a curva de Lorenz e relacionar o Índice de Gini às áreas do gráfico. Também é preciso calcular a parcela acumulada dos 90% dos funcionários com menores salários.

Resolução

O gráfico mostra a participação acumulada na massa salarial conforme aumenta o percentual de funcionários. A linha tracejada marca o limite dos 90%; chame de y a parcela acumulada recebida por esses funcionários. Assim, os 10% mais bem pagos recebem 1 − y do total. O gráfico permite calcular a área B sob a curva como dois trapézios: um entre 0% e 90%, e outro entre 90% e 100%.

pode ser calculado pela razão A/(A + B) em que A e B são as medidas das áreas indicadas no gráfico.

Usando o quadrado como unidade, a área A + B, sob a diagonal de igualdade, é 1/2. Portanto, o Gini é 1 − 2B. Para a curva desenhada:

B = (0,9 × y)/2 + (0,1 × (y + 1))/2 = 0,5y + 0,05

0,3 = 1 − 2B = 0,9 − y

y = 0,6

Logo, os 90% recebem 60% da massa salarial, e os 10% restantes recebem 100% − 60% = 40%.

Alternativa por alternativa

  • A

    Correta. com 40% para os 10% mais bem pagos, os outros 90% ficam com 60%, o que resulta em Gini igual a 0,3.

  • B

    se os 10% recebessem 20%, os 90% ficariam com 80%, e o Gini seria 0,1, não 0,3.

  • C

    se os 10% recebessem 60%, os 90% ficariam com 40%, e o Gini seria 0,5, não 0,3.

  • D

    se os 10% recebessem 30%, os 90% ficariam com 70%, e o Gini seria 0,2, não 0,3.

  • E

    se os 10% recebessem 70%, os 90% ficariam com 30%, e o Gini seria 0,6, não 0,3.

Para lembrarO Índice de Gini é A/(A + B); neste gráfico, como A + B = 1/2, ele também é igual a 1 − 2B.

Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.

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