Questão 163 do ENEM 2020 comentada
Veja como contar anagramas com vogais e consoantes intercaladas e letras repetidas.
Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”.
Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras.
Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por
- A
- B
- C
- D
- E
Tente resolver antes de abrir. Errar aqui é de graça.
Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão exige organizar letras em posições alternadas e considerar que uma letra se repete. Para isso, você conta separadamente as vogais e as consoantes.
Resolução
Ignore os espaços e separe as letras de “I AM POTTER”: há 4 vogais distintas (I, A, O, E) e 5 consoantes, com o T repetido duas vezes. Como há uma consoante a mais, o padrão alternado precisa começar e terminar com consoante.
de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas
As vogais podem ocupar suas posições de 4! maneiras. Para as consoantes, seriam 5! ordens se todas fossem diferentes. Como os dois T são iguais, cada ordem é contada duas vezes; por isso, dividimos por 2.
4! × 5! ÷ 2 = 24 × 120 ÷ 2 = 1 440
Na figura das alternativas, a expressão correta mostra justamente a contagem separada das vogais e das consoantes, com a divisão que corrige a repetição do T. Assim, ela conta apenas os anagramas que respeitam a alternância.
Alternativa por alternativa
- A
9! conta as letras como se fossem distintas e permite qualquer ordem, sem exigir a alternância.
- B
4! × 5! respeita as posições separadas para vogais e consoantes, mas conta os dois T como diferentes.
- C
2 × 4! × 5! multiplica a contagem, embora os dois T iguais exijam dividir por 2.
- D
9! ÷ 2 corrige a repetição do T, mas conta também ordens que não alternam vogais e consoantes.
- E
Correta. 4! × 5! ÷ 2 organiza as vogais e as consoantes nas posições alternadas e corrige a repetição do T.
Para lembrarAo permutar letras com repetição, divida o fatorial do total pelo fatorial da quantidade de repetições.
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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