Questão 154 do ENEM 2015 comentada
Use a função logarítmica e as condições geométricas do vidro para relacionar sua altura à medida da base.
A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros.
A expressão algébrica que determina a altura do vidro é
- A
- B
- C
- D
- E
Tente resolver antes de abrir. Errar aqui é de graça.
Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão exige interpretar a curva y = log(x) e traduzir as condições geométricas do vidro em uma equação. Depois, é preciso resolver essa equação para encontrar h em função de n.
Resolução
o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro
A figura mostra a curva y = log(x) e o eixo x passando pelo meio da altura. Assim, os extremos verticais do vidro correspondem às alturas h/2 e −h/2. Como a curva é logarítmica, os valores de x nesses extremos são 10^(h/2) e 10^(−h/2). A medida n da base é a diferença entre essas coordenadas:
n = 10^(h/2) − 10^(−h/2)
Defina q = 10^(h/2). Então, 10^(−h/2) = 1/q, e a relação fica:
n = q − 1/q q² − nq − 1 = 0 q = (n + √(n² + 4))/2
Como q = 10^(h/2), aplicamos logaritmo aos dois lados:
h/2 = log(q)
h = 2 log((n + √(n² + 4))/2)
Portanto, a expressão procurada é a da alternativa E.
Alternativa por alternativa
- A
Não se sustenta porque, para n positivo, (n − √(n² + 4))/2 é negativo; seu logaritmo não está definido nos reais.
- B
Não corresponde à relação n = q − 1/q obtida da figura. Além disso, para n ≥ 2, o argumento 1 − n/2 não é positivo.
- C
O produto dos argumentos é 1 − n²/4, que não fornece a altura determinada pela relação entre a base e a curva.
- D
O logaritmo apresentado é h/2, pois log((n + √(n² + 4))/2) = h/2. A altura inteira é o dobro.
- E
Correta. Está correta: a base fornece q − 1/q = n, cuja solução positiva é q = (n + √(n² + 4))/2. Como h = 2 log(q), obtém-se a expressão apresentada.
Para lembrarSe y = log(x), então x é a potência correspondente; use as alturas h/2 e −h/2 para obter as coordenadas horizontais.
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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