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Matemática ENEM 2014 difícil

Questão 164 do ENEM 2014 comentada

Como calcular a probabilidade de um teste terminar em uma pergunta específica com base na quantidade de respostas erradas.

Numeração do caderno azul · Matemática

Questão 164ENEM 2014

O psicólogo de uma empresa aplica um teste para analisar a aptidão de um candidato a determinado cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas respostas devem ser verdadeiro ou falso e termina quando o psicólogo fizer a décima pergunta ou quando o candidato der a segunda resposta errada. Com base em testes anteriores, o psicólogo sabe que a probabilidade de o candidato errar uma resposta é 0,20.

A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é

  1. A
    0,02048.
  2. B
    0,08192.
  3. C
    0,24000.
  4. D
    0,40960.
  5. E
    0,49152.

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Ver a resposta e a resolução

Resposta: Bgabarito oficial do INEP

O que a questão cobra

A questão exige identificar a sequência de respostas que faz o teste terminar na quinta pergunta e calcular sua probabilidade. Para isso, você usa as probabilidades de erro e acerto em cada resposta.

Resolução

“termina quando o psicólogo fizer a décima pergunta ou quando o candidato der a segunda resposta errada.”

Para o teste terminar na quinta pergunta, a quinta resposta precisa ser a segunda errada. Assim, nas quatro primeiras perguntas, deve ter ocorrido exatamente um erro.

A probabilidade de errar é 0,20. A de acertar é 1 − 0,20 = 0,80. O erro anterior pode estar em qualquer uma das quatro primeiras posições, então há quatro possibilidades. Em cada uma, há um erro e três acertos nas primeiras quatro respostas, seguidos por um erro na quinta.

Probabilidade de uma dessas sequências:

0,20 × 0,80³ × 0,20 = 0,02048

Como são quatro posições possíveis para o erro anterior:

4 × 0,02048 = 0,08192

Logo, a probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é 0,08192. A resposta considera apenas sequências em que a segunda resposta errada aparece justamente na quinta pergunta.

Alternativa por alternativa

  • A

    0,02048 considera uma sequência específica, mas o erro anterior à quinta pergunta pode ocorrer em qualquer uma das quatro primeiras posições. É preciso somar essas quatro possibilidades.

  • B

    Correta. Está correta: há quatro possibilidades para a posição do primeiro erro, e cada sequência tem probabilidade 0,02048. Portanto, 4 × 0,02048 = 0,08192.

  • C

    Não corresponde à probabilidade do evento: para terminar na quinta pergunta, a quinta resposta deve ser errada e deve haver exatamente um erro nas quatro primeiras. Esse cálculo resulta em 0,08192.

  • D

    Não corresponde à probabilidade do evento descrito. Considerando as quatro posições possíveis para o erro anterior e a segunda resposta errada na quinta, o resultado é 0,08192.

  • E

    Não corresponde à probabilidade do evento descrito. A sequência exigida tem exatamente dois erros, um deles na quinta pergunta, e sua probabilidade total é 0,08192.

Para lembrarPara eventos independentes em sequência, multiplique as probabilidades de cada resposta e some as possibilidades distintas.

Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.

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