Questão 146 do ENEM 2014 comentada
Como usar os expoentes da fatoração em primos para contar os divisores de um número.
Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2^x.5^y.7^z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.
O número de divisores de N, diferentes de N, é
- AX. y. z
- B(x+ 1).(y + 1)
- CX . y . z - 1
- D(x + 1).(y + 1).z
- E(x + 1).(y + 1).(z + 1) - 1
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O que a questão cobra
A questão exige que você relacione os expoentes da fatoração prima às condições de divisibilidade. Também é preciso retirar da contagem o próprio número N.
Resolução
O trecho que define os expoentes é:
Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.
Como 10 = 2 · 5, ser múltiplo de 10 exige que N tenha pelo menos um fator 2 e um fator 5. Portanto, x ≥ 1 e y ≥ 1. Como N não é múltiplo de 7, z = 0.
Para formar um divisor, você escolhe o expoente de cada fator primo entre 0 e o expoente correspondente em N. Assim, há x + 1 escolhas para o fator 2, y + 1 para o fator 5 e z + 1 para o fator 7.
Número total de divisores de N:
(x + 1) · (y + 1) · (z + 1)
A pergunta exclui o próprio N. Por isso, subtraímos 1:
(x + 1) · (y + 1) · (z + 1) − 1
Essa expressão corresponde à alternativa E.
Alternativa por alternativa
- A
O produto x · y · z não conta as escolhas possíveis para os expoentes. Como z = 0, essa expressão resulta em 0.
- B
Como z = 0, essa expressão conta todos os divisores, incluindo N. Para excluir N, é preciso subtrair 1.
- C
O produto x · y · z é 0, pois z = 0; portanto, a expressão resulta em −1, que não pode ser uma quantidade de divisores.
- D
Como z = 0, a expressão resulta em 0. Ela não conta corretamente as escolhas dos expoentes.
- E
Correta. Cada fator (expoente + 1) conta as escolhas possíveis para formar um divisor. Subtrair 1 exclui o próprio N.
Para lembrarSe N = p^a · q^b · r^c, o total de divisores positivos é (a + 1)(b + 1)(c + 1); para excluir N, subtraia 1.
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