Questão 174 do ENEM 2011 comentada
Como determinar a posição de um número em uma lista ordenada usando o princípio multiplicativo?
O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares.
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é
- A24
- B31
- C32
- D88
- E89
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Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão exige contar quantas permutações vêm antes de um número em ordem crescente. Para isso, você deve comparar os algarismos da esquerda para a direita.
Resolução
Como há cinco algarismos ímpares disponíveis e os números têm cinco algarismos distintos, cada número usa uma permutação de 1, 3, 5, 7 e 9. A lista em ordem crescente corresponde à ordem lexicográfica: primeiro se comparam os algarismos da esquerda, depois os seguintes.
foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares.
Antes de 75 913, podem vir números começados por 1, 3 ou 5. Para cada escolha, há 4! maneiras de ordenar os algarismos restantes.
3 × 4! = 72
Entre os números que começam por 7, o segundo algarismo pode ser 1 ou 3 para vir antes do 5. Para cada opção, restam 3! permutações.
2 × 3! = 12
Com o prefixo 75, o terceiro algarismo pode ser 1 ou 3 antes do 9. Para cada opção, restam 2! permutações.
2 × 2! = 4
Não há número anterior com prefixo 759 e quarto algarismo menor que 1. Assim, há 72 + 12 + 4 = 88 números antes de 75 913. Contando o próprio número, sua posição é 88 + 1 = 89.
Alternativa por alternativa
- A
O número 24 não corresponde à posição: há 88 números válidos antes de 75 913, antes de contar o próprio número.
- B
O número 31 não corresponde à posição: a contagem dos números anteriores deve considerar as permutações dos algarismos restantes.
- C
O número 32 não corresponde à posição: há 88 números válidos antes de 75 913, e a posição também inclui o próprio número.
- D
O número 88 conta quantos números vêm antes de 75 913, mas não inclui o próprio número na posição.
- E
Correta. É a posição correta: há 88 números válidos antes de 75 913; contando esse número, sua ordem de chamada é 89.
Para lembrarEm uma lista ordenada, conte os elementos que vêm antes do item e some 1 para obter sua posição.
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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