Questão 147 do ENEM 2014 comentada
Descubra quantos triângulos diferentes podem ser formados com palitos sob condições de perímetro e comprimento dos lados.
Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características.
A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos é
- A3.
- B5.
- C6.
- D8.
- E10.
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Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão exige aplicar a desigualdade triangular e distinguir triângulos não congruentes pelas medidas de seus lados. Como os palitos têm o mesmo comprimento, essas medidas são números inteiros.
Resolução
exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos.
A figura mostra que os lados são medidos com palitos de mesmo comprimento. Assim, podemos representar seus comprimentos por números inteiros. Triângulos congruentes têm as mesmas medidas de lados, mesmo que estejam em posições diferentes.
Fixamos um lado com 6 palitos. Se os outros lados medem x e y, com x ≤ y, então:
x + y = 17 − 6 = 11.
Para formar um triângulo, a soma dos dois lados menores deve ser maior que o maior lado. Como x + y = 11, a condição que restringe os valores é 6 + x > y. Substituindo y por 11 − x:
6 + x > 11 − x, então x > 2,5.
Além disso, x ≤ y implica x ≤ 5. Portanto, x pode ser 3, 4 ou 5. Os triângulos possíveis têm lados (3, 6, 8), (4, 6, 7) e (5, 6, 6), todos com soma 17. São três conjuntos distintos de medidas, logo há três triângulos não congruentes.
Alternativa por alternativa
- A
Correta. as únicas medidas possíveis são (3, 6, 8), (4, 6, 7) e (5, 6, 6), totalizando três triângulos não congruentes.
- B
a enumeração das medidas que satisfazem a soma 17 e a desigualdade triangular produz três conjuntos, não cinco.
- C
apenas três conjuntos de medidas formam triângulos com as condições dadas, não seis.
- D
oito conjuntos de medidas não são possíveis; a análise das condições resulta em apenas três.
- E
dez conjuntos de medidas não são possíveis; somente três atendem à soma dos lados e à desigualdade triangular.
Para lembrarEm um triângulo, a soma de quaisquer dois lados deve ser maior que o terceiro.
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