Questão 150 do ENEM 2011 comentada
Como verificar se um ponto está na reta de um percurso e dentro de uma distância máxima de outro ponto.
A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (-5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto.
- A(–5, 0).
- B(–3, 1).
- C(–2, 1).
- D(0, 4).
- E(2, 6).
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Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão exige que você combine a equação da reta com a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano. A figura mostra a reta do percurso, que a estação precisa seguir.
Resolução
de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.
A estação precisa estar na reta do percurso e a até 5 km do hospital, localizado em P = (−5, 5). A figura mostra a reta que representa o percurso; para verificar os pontos, usamos sua equação, y = x + 4.
No ponto (−3, 1), a equação é satisfeita:
1 = −3 + 4.
A distância desse ponto ao hospital é:
√[(−3 + 5)² + (1 − 5)²] = √20 ≈ 4,47 km.
Como 4,47 km não ultrapassa 5 km, o ponto atende às duas condições. Os pontos (−5, 0) e (−2, 1) não pertencem à reta. Já (0, 4) e (2, 6) pertencem, mas suas distâncias ao hospital são √26 km e √50 km, ambas maiores que 5 km.
Alternativa por alternativa
- A
O ponto (−5, 0) não pertence à reta: para x = −5, a equação dá y = −1. Portanto, não é uma estação no percurso.
- B
Correta. O ponto (−3, 1) pertence à reta, pois 1 = −3 + 4. Sua distância ao hospital é √20 km, menor que 5 km.
- C
O ponto (−2, 1) não pertence à reta: para x = −2, a equação dá y = 2. Portanto, não é uma estação no percurso.
- D
O ponto (0, 4) pertence à reta, mas sua distância ao hospital é √26 km, maior que 5 km.
- E
O ponto (2, 6) pertence à reta, mas sua distância ao hospital é √50 km, maior que 5 km.
Para lembrarUm ponto está na reta y = x + 4 quando suas coordenadas satisfazem a equação; a distância entre (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].
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