Questão 153 do ENEM 2013 comentada
Como traduzir uma relação de proporcionalidade entre potências em uma função de potência?
Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”.
HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado).
Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:
- A
- B
- C
- D
- E
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O que a questão cobra
A questão exige interpretar uma relação de proporcionalidade e isolar uma variável. Também cobra o uso das propriedades das potências.
Resolução
“o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”
A frase indica que o cubo de S é igual a uma constante positiva multiplicada por M². Chamando essa constante de k, temos:
S³ = k · M²
Para encontrar S, extraímos a raiz cúbica dos dois lados:
S = ∛(k · M²)
Aplicando a raiz cúbica a cada fator:
S = k^(1/3) · M^(2/3)
A figura das alternativas apresenta S em função de M. Para escolher a expressão compatível, compare os expoentes: o de k deve ser 1/3, e o de M deve ser 2/3. Assim, a expressão mantém exatamente a relação dada no enunciado. Como k é positiva, a raiz cúbica também está definida para essa constante.
Alternativa por alternativa
- A
S = k · M levaria a S³ = k³ · M³, que não é proporcional a M².
- B
S = k · M^(1/3) levaria a S³ = k³ · M, não a uma expressão proporcional a M².
- C
S = k^(1/3) · M^(1/3) levaria a S³ = k · M, cujo expoente de M é diferente do indicado.
- D
Correta. S = k^(1/3) · M^(2/3) implica S³ = k · M², como afirma o enunciado.
- E
S = k^(1/3) · M² levaria a S³ = k · M⁶, e não a uma expressão proporcional a M².
Para lembrarSe S³ é proporcional a M², então S é proporcional a M^(2/3), pois elevar à raiz cúbica divide os expoentes por 3.
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