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Matemática ENEM 2012 difícil

Questão 137 do ENEM 2012 comentada

Veja como as tangências entre circunferências permitem comparar os perímetros de dois losangos.

Numeração do caderno azul · Matemática

Questão 137ENEM 2012

figura da questão

Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do losango e ainda mantendo-se a configuração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2.

figura da questão

O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de

  1. A
    300%.
  2. B
    200%.
  3. C
    150%.
  4. D
    100%.
  5. E
    50%.

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Ver a resposta e a resolução

Resposta: Egabarito oficial do INEP

O que a questão cobra

A questão cobra a relação entre o comprimento de um lado do losango e os raios das circunferências tangentes em seus vértices. Depois, pede a variação percentual do perímetro.

Resolução

Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do losango

Na Figura 1, as circunferências têm raio igual. Chame esse raio de r. A figura mostra que circunferências vizinhas são tangentes; assim, a distância entre seus centros — que corresponde ao lado do losango — é a soma dos raios.

Na Figura 2, cada lado liga um vértice com circunferência de raio 2r a outro com raio r. A tangência, que a figura mantém, faz o lado medir:

2r + r = 3r

Na Figura 1, cada lado mede:

r + r = 2r

Como o perímetro do losango é quatro vezes a medida do lado, comparar os perímetros equivale a comparar os lados. A razão entre o perímetro da Figura 2 e o da Figura 1 é:

3r ÷ 2r = 1,5

Portanto, o novo perímetro corresponde a 150% do original. O aumento, porém, é apenas a diferença entre 150% e 100%: 50%.

Alternativa por alternativa

  • A

    300% não se sustenta: o perímetro novo é 150% do original, não um aumento de 300%.

  • B

    200% não se sustenta: o aumento calculado é de 50% em relação ao perímetro inicial.

  • C

    150% é a proporção do perímetro novo em relação ao inicial, não o percentual de aumento.

  • D

    100% indicaria que o perímetro dobrou; a razão calculada é 1,5, não 2.

  • E

    Correta. o lado passa de 2r para 3r, então o perímetro cresce na mesma proporção, de 50%.

Para lembrarQuando duas circunferências são tangentes, a distância entre seus centros é a soma de seus raios.

Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.

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