Questão 155 do ENEM 2011 comentada
Como usar ângulos e seno para calcular a menor distância entre um ponto e a trajetória de um barco.
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30° e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m.
Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será
- A1 000 m.
- B1 000 √3 m.
- C2 000 √3/3 m.
- D2 000 m
- E2 000 √3 m.
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O que a questão cobra
A questão exige interpretar os ângulos do desenho e reconhecer que a menor distância entre o ponto fixo e a trajetória é perpendicular a ela. Você usa também a relação entre lados opostos a ângulos iguais e o seno de um ângulo agudo.
Resolução
AB = 2 000 m.
Como o barco segue em linha reta, a menor distância até P é o segmento perpendicular entre P e a trajetória. No desenho, o ângulo marcado em B é 2α e é formado com a continuação da trajetória. Com α = 30°, esse ângulo mede 60°. Assim, o ângulo interno do triângulo em B mede 120°.
O ângulo em A mede 30°. Como os ângulos internos do triângulo somam 180°, o ângulo em P também mede 30°. Os lados opostos a esses dois ângulos são iguais; portanto, BP = AB.
BP = 2 000 m
A distância procurada é a componente perpendicular de BP em relação à trajetória. Ela é o cateto oposto ao ângulo de 60°.
d = BP · sen 60° = 2 000 · (√3/2) = 1 000√3 m
Logo, a menor distância é 1 000√3 m.
Alternativa por alternativa
- A
A distância perpendicular calculada é 1 000√3 m, não 1 000 m.
- B
Correta. Como BP = 2 000 m e o ângulo com a trajetória é 60°, a distância perpendicular é 2 000 · sen 60° = 1 000√3 m.
- C
O cálculo da distância usa sen 60° e resulta em 1 000√3 m, não em 2 000√3/3 m.
- D
Os 2 000 m correspondem ao lado BP, não à distância perpendicular até a trajetória.
- E
A distância é 2 000 · sen 60°; portanto, não é 2 000√3 m.
Para lembrarA distância mais curta de um ponto a uma reta é o segmento perpendicular; em um triângulo retângulo, sen θ = cateto oposto ÷ hipotenusa.
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