Questão 168 do ENEM 2010 comentada
Como igualar o volume de champanhe em taças com formatos de hemisfério e cone?
Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.
Considere:
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de
- A1,33
- B6,00
- C12,00
- D56,52
- E113,04
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Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão exige calcular o volume de um hemisfério e o de um cone. Depois, você iguala os volumes para encontrar a altura do champanhe no cone.
Resolução
A figura indica que os dois recipientes têm raio de 3 cm. Como a taça em forma de hemisfério está completamente cheia, primeiro calculamos o volume dela. Um hemisfério corresponde à metade de uma esfera.
No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.
V hemisfério = 1/2 × 4/3 × π × 3³ = 18π cm³
No cone, a altura h representa a altura do champanhe que queremos encontrar. Usamos o raio indicado na figura e igualamos o volume do cone ao do hemisfério:
V cone = 1/3 × π × 3² × h = 3πh
3πh = 18π
h = 6 cm
Portanto, você deve colocar champanhe até a altura de 6 cm na taça cônica. Assim, o volume servido será o mesmo da taça hemisférica cheia.
Alternativa por alternativa
- A
Com altura de 1,33 cm, o cone teria volume 3,99π cm³, diferente dos 18π cm³ do hemisfério.
- B
Correta. Está certa: com altura de 6 cm, o cone tem volume 3π × 6 = 18π cm³, igual ao volume do hemisfério cheio.
- C
Com altura de 12 cm, o cone teria volume 36π cm³, o dobro do volume do hemisfério.
- D
Com altura de 56,52 cm, o cone teria volume 169,56π cm³, que não é igual ao do hemisfério.
- E
Com altura de 113,04 cm, o cone teria volume 339,12π cm³, que não é igual ao do hemisfério.
Para lembrarO volume de um hemisfério é metade do volume da esfera: V = 2/3 × π × R³; o do cone é V = 1/3 × π × R² × h.
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