Questão 164 do ENEM 2010 comentada
Como determinar o raio de uma perfuração cilíndrica tangente às faces laterais de um prisma triangular.
Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura.
O raio da perfuração da peça é igual a
- A1 cm.
- B2 cm.
- C3 cm.
- D4 cm.
- E5 cm.
Tente resolver antes de abrir. Errar aqui é de graça.
Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão exige identificar a seção triangular em que a perfuração é tangente aos lados e calcular o raio da circunferência inscrita. Para isso, você pode usar a área do triângulo e seu semiperímetro.
Resolução
cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm
A figura mostra a perfuração circular tangente aos três lados da base triangular. Assim, o raio procurado é o raio da circunferência inscrita nesse triângulo. A altura do prisma não altera esse raio: ela indica o comprimento da peça, não o tamanho da seção circular.
Como os lados medem 6 cm, 8 cm e 10 cm, o triângulo é retângulo, pois 6² + 8² = 10². Sua área é:
Área = (6 × 8) ÷ 2 = 24 cm²
O semiperímetro da base é:
s = (6 + 8 + 10) ÷ 2 = 12 cm
Para um triângulo, o raio da circunferência inscrita é a área dividida pelo semiperímetro:
r = 24 ÷ 12 = 2 cm
Logo, o raio da perfuração mede 2 cm.
Alternativa por alternativa
- A
O raio é 2 cm, então 1 cm não corresponde à circunferência inscrita na base.
- B
Correta. a área da base dividida pelo semiperímetro resulta em raio de 2 cm.
- C
O raio calculado é 2 cm, não 3 cm.
- D
O raio calculado é 2 cm, não 4 cm.
- E
O raio calculado é 2 cm, não 5 cm.
Para lembrarEm um triângulo, o raio da circunferência inscrita é igual à área dividida pelo semiperímetro: r = A ÷ s.
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